Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado.
f(x)=(1+12 raizx)(4-x^2) em x=1.

Passo 1

Queremos achar a reta tangente ao gráfico de f(x)=(1+12raizx)(4-x^2) no ponto em que x=1. Para isso precisamos do ponto (1,f(1)) e da inclinação f'(1), usando as regras de derivada de produto e cadeia.

Passo 2

Calcular f(1): raiz1=1 então
f(1)=(1+12cdot1)(4-1^2)=13cdot3=39

Passo 3

Definir u(x)=1+12raizx e v(x)=4-x^2. Então
u'(x)=12cdot12raizx=6raizx,
v'(x)=-2x
Pela regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=6raizx(4-x^2)+(1+12raizx)(-2x)

Passo 4

Avaliar f'(x) em x=1: temos u'(1)=6, v(1)=3, u(1)=13 e v'(1)=-2. Logo
f'(1)=6cdot3+13cdot(-2)=18-26=-8

Passo 5

A equação da reta tangente na forma ponto-declive é dada por y-f(1)=f'(1)(x-1). Substituindo f(1)=39 e f'(1)=-8 resulta em y-39=-8(x-1).

Resposta

y = -8x + 47

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