Verifique se o teste da integral é aplicável e use-o para determinar se a série é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o teste da integral é aplicável e, usando-o, determinar se a série
é convergente ou divergente.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A série começa em
. - O termo geral é
. - Não há outras informações adicionais (por ex., figura ou tabela).
Passo 2
Explicar o teste da integral (em palavras simples e com a fórmula): seja
uma função tal que
é positiva, contínua e monotonicamente decrescente em
e
para
. O teste da integral diz que a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge (ou seja, tem valor finito). Em linguagem amigável: se a área sob o gráfico de
a partir de
é finita, então a soma dos termos
também é finita (e vice‑versa, sob as hipóteses).
Vamos aplicar esse teste com a função correspondente à série.
Passo 3
Definir a função
associada à série:
Agora verificar as hipóteses do teste da integral para
.
-
Positividade: para
tem-se , logo . -
Continuidade:
é composição de funções contínuas em (polinômio e potência), logo é contínua em . -
Monotonicidade decrescente: calcular a derivada para ver o sinal.
Para
o fator
é positivo, então
. Portanto
é decrescente em
.
Conclusão:
satisfaz as hipóteses do teste da integral no intervalo
. Podemos aplicar o teste.
Passo 4
Calcular a integral imprópria
Fazer a mudança de variável
. Então
e
. Os limites: para
temos
; para
temos
. Assim
Agora calcular a primitiva: para
,
Aqui
, então
e
Portanto
Esse resultado é um número finito. Logo a integral imprópria converge.
Passo 5
Concluir pelo teste da integral: como
é positiva, contínua e decrescente em
e a integral
converge (vale
), então a série
converge.
Observação extra intuitiva (útil para a prova): para grandes
tem-se
, então os termos são comparáveis a uma constante vezes
. Como
converge para
(série p), isso também mostra convergência; aqui
.
Resposta
A série converge.