Verifique se o teste da integral é aplicável e use-o para determinar se a série é convergente.
\sum_{k=8}^{\infty} \frac{1}{(3+7 k)^{\frac{3}{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o teste da integral é aplicável e, usando-o, determinar se a série
\sum_{k=8}^{\infty} \frac{1}{(3+7 k)^{\frac{3}{2}}}
é convergente ou divergente.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A série começa em k=8.
  • O termo geral é a_k=\dfrac{1}{(3+7k)^{3/2}}.
  • Não há outras informações adicionais (por ex., figura ou tabela).

Passo 2

Explicar o teste da integral (em palavras simples e com a fórmula): seja f uma função tal que f(x) é positiva, contínua e monotonicamente decrescente em [N,\infty) e a_k=f(k) para k\ge N. O teste da integral diz que a série \sum_{k=N}^{\infty} a_k converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx
converge (ou seja, tem valor finito). Em linguagem amigável: se a área sob o gráfico de f a partir de N é finita, então a soma dos termos f(k) também é finita (e vice‑versa, sob as hipóteses).
Vamos aplicar esse teste com a função correspondente à série.

Passo 3

Definir a função f associada à série:
f(x)=\frac{1}{(3+7x)^{\frac{3}{2}}}.
Agora verificar as hipóteses do teste da integral para x\ge 8.
  1. Positividade: para x\ge 8 tem-se 3+7x>0, logo f(x)>0.
  2. Continuidade: f(x) é composição de funções contínuas em x\ge 8 (polinômio e potência), logo é contínua em [8,\infty).
  3. Monotonicidade decrescente: calcular a derivada para ver o sinal.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3+7x\bigr)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2}\cdot 7\cdot(3+7x)^{-\frac{5}{2}} = -\frac{21}{2}\,(3+7x)^{-\frac{5}{2}}.
Para x\ge 8 o fator (3+7x)^{-\frac{5}{2}} é positivo, então f'(x)<0. Portanto f é decrescente em [8,\infty).
Conclusão: f satisfaz as hipóteses do teste da integral no intervalo [8,\infty). Podemos aplicar o teste.

Passo 4

Calcular a integral imprópria
\int_{8}^{\infty} \frac{1}{(3+7x)^{\frac{3}{2}}}\,dx.
Fazer a mudança de variável \,u=3+7x\,. Então \,du=7\,dx e \,dx=\dfrac{du}{7}. Os limites: para x=8 temos u=3+7\cdot 8=59; para x\to\infty temos u\to\infty. Assim
\int_{8}^{\infty} \frac{1}{(3+7x)^{\frac{3}{2}}}\,dx = \int_{59}^{\infty} u^{-\frac{3}{2}}\cdot\frac{du}{7} = \frac{1}{7}\int_{59}^{\infty} u^{-\frac{3}{2}}\,du.
Agora calcular a primitiva: para \alpha\neq -1,
\int u^{\alpha}\,du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}.
Aqui \alpha=-\tfrac{3}{2}, então \alpha+1=-\tfrac{1}{2} e
\int u^{-\frac{3}{2}}\,du = \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} = -2\,u^{-\frac{1}{2}}.
Portanto
\frac{1}{7}\int_{59}^{\infty} u^{-\frac{3}{2}}\,du = \frac{1}{7}\left[ -2\,u^{-\frac{1}{2}} \right]_{59}^{\infty} = \frac{1}{7}\left( 0 - \bigl(-2\cdot 59^{-\frac{1}{2}}\bigr)\right) = \frac{2}{7\sqrt{59}}.
Esse resultado é um número finito. Logo a integral imprópria converge.

Passo 5

Concluir pelo teste da integral: como f é positiva, contínua e decrescente em [8,\infty) e a integral \int_{8}^{\infty} f(x)\,dx converge (vale \dfrac{2}{7\sqrt{59}}), então a série
\sum_{k=8}^{\infty} \frac{1}{(3+7 k)^{\frac{3}{2}}}
converge.
Observação extra intuitiva (útil para a prova): para grandes k tem-se (3+7k)^{3/2}\sim (7k)^{3/2}=7^{3/2}k^{3/2}, então os termos são comparáveis a uma constante vezes k^{-3/2}. Como \sum k^{-p} converge para p>1 (série p), isso também mostra convergência; aqui p=\tfrac{3}{2}>1.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados