Para cada série p, identifique p e determine se a série converge. \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}\\,
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}
e pede duas coisas:
identificar o valor de p quando a série é escrita na forma de uma série p (isto é, comparar com \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{p}});
decidir se a série converge ou diverge.
Informações relevantes dadas: o termo geral é \dfrac{1}{\sqrt{k}} com k=1,2,3,\dots.
Passo 2
Entender o que é uma série p e o critério de convergência. Uma série p tem a forma
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{p}},
onde p é um número real. O teste clássico (resultado que vamos usar) é:
A série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{p}} converge se, e somente se, p>1.
Se p\le 1, a série diverge.
Vou explicar por que isso é verdade usando o teste da integral (é uma justificativa direta e didática).
Passo 3
A ideia do teste da integral: considere a função f(x)=x^{-p} para x\ge1. Quando f é positiva e decrescente, o comportamento da série \sum_{k=1}^{\infty}f(k) é o mesmo do da integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx. Portanto, vamos analisar
Se p>1, então 1-p<0 e N^{1-p}\to0 quando N\to\infty. Logo \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx converge (é igual a \dfrac{1}{p-1}). Assim a série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{p}} também converge.
Se p=1, a integral é \ln N que diverge quando N\to\infty; logo a série diverge (é a série harmônica).
Se 0<p<1, então 1-p>0 e N^{1-p}\to\infty quando N\to\infty; portanto a integral diverge, e a série diverge.
Esse cálculo é a justificativa do critério: converge ⇔ p>1.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso termo: escreva o termo geral como potência de k:
\frac{1}{\sqrt{k}} = k^{-1/2}.
Portanto o valor de p é
p=\tfrac{1}{2}.
Passo 6
Decisão de convergência: como p=\tfrac{1}{2}\le 1, pela propriedade do item anterior a série diverge. Para tornar isso ainda mais óbvio por comparação direta, note que para todo k\ge1 vale \sqrt{k}\le k, então
\frac{1}{\sqrt{k}}\ge\frac{1}{k}.
Como a série harmônica \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} diverge, e os termos \dfrac{1}{\sqrt{k}} são maiores termo a termo, a série dada também diverge por comparação.