Para cada série de potências abaixo, determine o Raio de Convergência (R) e o Intervalo de Convergência (I), realizando a verificação necessária nas extremidades do intervalo. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}(x+5)^{n}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras: determinar o Raio de Convergência R da série de potências e o Intervalo de Convergência I (verificando se as extremidades são incluídas ou não). A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}(x+5)^{n}.
Informações relevantes que temos:
O termo geral da série de potências em torno do centro x_0=-5 é a_n(x+5)^n com a_n=\dfrac{\ln n}{n}.
Precisamos achar R (tamanho do raio em torno de -5) e depois verificar a convergência em x=-5\pm R, isto é, em x=-6 e x=-4.
Passo 2
Vamos achar o raio R. Para séries de potências uma forma padrão é usar o teste da raiz (fórmula de Hadamard):
Sabendo que \lim_{n\to\infty}(\ln n)^{1/n}=1 e \lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1, concluímos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1.
Portanto \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1, logo
R=\frac{1}{1}=1.
Comentário didático rápido: a intuição é que \ln n cresce muito mais devagar que qualquer potência de n, de modo que o fator dominante no n-ésimo radical é n^{1/n}, que tende a 1. Assim o raio dá 1.
Passo 3
Com R=1 o intervalo aberto de convergência (em termos de x) é
(-5-R,\,-5+R)=(-6,\,-4).
Agora precisamos verificar as extremidades x=-6 e x=-4 separadamente.
Passo 4
Análise em x=-6. Substituindo na série:
x=-6\quad\Rightarrow\quad (x+5)^n = (-1)^n,
então a série vira
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}(-1)^n.
Esta é uma série alternada com termos em módulo b_n=\dfrac{\ln n}{n}. Para aplicar o teste de Leibniz (critérios de série alternada) precisamos que b_n seja monótono decrescente a partir de algum N e que \lim_{n\to\infty} b_n=0.
Limite: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0 porque n cresce muito mais rápido que \ln n. (Formalmente pode-se usar L’Hôpital ou comparar com 1/\sqrt{n}, etc.)
Monotonicidade eventual: considere f(x)=\dfrac{\ln x}{x} para x>0. A derivada é
f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
Temos f'(x)<0 para x>e, logo f é decrescente para x>e. Portanto a sequência b_n=f(n) é decrescente a partir de n\ge 3. Assim as condições de Leibniz valem.
Portanto a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\ln n}{n}(-1)^n converge. Agora verificar se a convergência é absoluta: série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}.
Usamos o teste da integral: avaliar \displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx. Fazendo a substituição u=\ln x (ou observar primitiva),
que diverge quando T\to\infty. Logo \sum \dfrac{\ln n}{n} diverge. Conclusão: em x=-6 a série converge condicionalmente (converge mas não absolutamente).
Passo 5
Análise em x=-4. Substituindo:
x=-4\quad\Rightarrow\quad (x+5)^n = 1^n = 1,
então a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}.
Acabamos de ver no passo anterior que essa série diverge (pelo teste da integral). Assim em x=-4 a série diverge.
Passo 6
Conclusão final combinando tudo: o raio é R=1, o intervalo aberto de convergência é (-6,-4); na extremidade esquerda x=-6 a série converge condicionalmente; na extremidade direita x=-4 a série diverge. Portanto o intervalo de convergência (incluindo ou não extremos) é [-6,-4).