Para cada série de potências abaixo, determine o Raio de Convergência (R) e o Intervalo de Convergência (I), realizando a verificação necessária nas extremidades do intervalo. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 x-2)^{n}}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede: determinar o Raio de Convergência R e o Intervalo de Convergência I (verificando as extremidades) da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3x-2)^{n}}{n^{2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A soma é sobre n de 1 até infinito.
O termo geral é \dfrac{(3x-2)^{n}}{n^{2}}.
A parte que depende de x aparece como (3x-2)^{n}, ou seja, a série é uma potência em torno de um ponto que pode ser identificado a partir de 3x-2.
É preciso verificar a convergência também em cada extremo do intervalo de raio encontrado.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a parte que envolve x de forma a identificar o centro da série. Observe que
3x-2 = 3\left(x-\frac{2}{3}\right).
Logo a série pode ser vista como uma série em potências de \left(x-\dfrac{2}{3}\right) multiplicada por 3^{n}:
Isto mostra que o intervalo de convergência (aberto, antes de testar extremidades) é \left(\dfrac{1}{3},1\right). O raio de convergência em termos da distância ao centro a=\dfrac{2}{3} é
R=\frac{1}{3},
porque |x-a|<R equivale a \left|x-\dfrac{2}{3}\right|<\dfrac{1}{3}.
Passo 5
Agora verificamos as extremidades:
Primeiro x=\dfrac{1}{3}. Substituindo em 3x-2:
3\cdot\frac{1}{3}-2 = 1-2 = -1.
A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Este é um caso fácil: os termos em valor absoluto são \dfrac{1}{n^{2}}, e a série \sum \dfrac{1}{n^{2}} é convergente (é uma série-p com p=2>1). Como a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente em x=\dfrac{1}{3}. Portanto x=\dfrac{1}{3} pertence ao intervalo de convergência.
Novamente é a série-p com p=2, que converge. Logo a série converge (na verdade absolutamente) também em x=1. Portanto x=1 pertence ao intervalo de convergência.
Passo 7
Conclusão combinando tudo:
Raio de convergência R=\dfrac{1}{3}.
O intervalo de convergência incluindo as extremidades é \left[\dfrac{1}{3},1\right].