Para cada série de potências abaixo, determine o Raio de Convergência (R) e o Intervalo de Convergência (I), realizando a verificação necessária nas extremidades do intervalo.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 x-2)^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o Raio de Convergência R e o Intervalo de Convergência I (verificando as extremidades) da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3x-2)^{n}}{n^{2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A soma é sobre n de 1 até infinito.
  • O termo geral é \dfrac{(3x-2)^{n}}{n^{2}}.
  • A parte que depende de x aparece como (3x-2)^{n}, ou seja, a série é uma potência em torno de um ponto que pode ser identificado a partir de 3x-2.
  • É preciso verificar a convergência também em cada extremo do intervalo de raio encontrado.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a parte que envolve x de forma a identificar o centro da série. Observe que
3x-2 = 3\left(x-\frac{2}{3}\right).
Logo a série pode ser vista como uma série em potências de \left(x-\dfrac{2}{3}\right) multiplicada por 3^{n}:
\frac{(3x-2)^{n}}{n^{2}} = \frac{3^{n}\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{n}}{n^{2}}.
Isto mostra que o centro da série é a=\dfrac{2}{3} (a série é em potências de x-a).

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência usamos o teste da raiz (ou o teste da razão). Vou aplicar o teste da raiz porque fica muito direto aqui.
O teste da raiz diz: para uma série \sum c_n, calcule \rho=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}.
  • Se \rho<1, a série converge absolutamente.
  • Se \rho>1, diverge.
  • Se \rho=1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso c_n=\dfrac{(3x-2)^{n}}{n^{2}}. Então
\sqrt[n]{|c_n|}=\sqrt[n]{\frac{|3x-2|^{n}}{n^{2}}} =|3x-2|\cdot\sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}}}.
Agora avaliamos o limite (ou limsup) quando n\to\infty. Note que
\sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}}}=n^{-2/n}=\mathrm{e}^{\frac{-2\ln n}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{} \mathrm{e}^{0}=1.
Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=|3x-2|\cdot 1 = |3x-2|.
Pelo teste da raiz a série converge se e somente se
|3x-2|<1.

Passo 4

A desigualdade |3x-2|<1 é equivalente a
-1<3x-2<1.
Somando 2 em todos os membros e dividindo por 3, obtemos
\frac{2-1}{3}<x<\frac{2+1}{3}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{3}<x<1.
Isto mostra que o intervalo de convergência (aberto, antes de testar extremidades) é \left(\dfrac{1}{3},1\right). O raio de convergência em termos da distância ao centro a=\dfrac{2}{3} é
R=\frac{1}{3},
porque |x-a|<R equivale a \left|x-\dfrac{2}{3}\right|<\dfrac{1}{3}.

Passo 5

Agora verificamos as extremidades:
Primeiro x=\dfrac{1}{3}. Substituindo em 3x-2:
3\cdot\frac{1}{3}-2 = 1-2 = -1.
A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Este é um caso fácil: os termos em valor absoluto são \dfrac{1}{n^{2}}, e a série \sum \dfrac{1}{n^{2}} é convergente (é uma série-p com p=2>1). Como a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente em x=\dfrac{1}{3}. Portanto x=\dfrac{1}{3} pertence ao intervalo de convergência.

Passo 6

Agora x=1. Substituindo:
3\cdot 1 -2 = 1.
A série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n}}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Novamente é a série-p com p=2, que converge. Logo a série converge (na verdade absolutamente) também em x=1. Portanto x=1 pertence ao intervalo de convergência.

Passo 7

Conclusão combinando tudo:
  • Raio de convergência R=\dfrac{1}{3}.
  • O intervalo de convergência incluindo as extremidades é \left[\dfrac{1}{3},1\right].

Resposta

R=\dfrac{1}{3}
I=\left[\dfrac{1}{3},1\right]

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