Para cada série de potências abaixo, determine o Raio de Convergência (R) e o Intervalo de Convergência (I), realizando a verificação necessária nas extremidades do intervalo.
\quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)!}{(2 n)!} x^{n}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Série dada: \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)!}{(2n)!}\, x^{n}.
  • O que pedem:
    • Determinar o raio de convergência R.
    • Determinar o intervalo de convergência I (ou seja, os x\in\mathbb{R} para os quais a série converge), com verificação das extremidades, se houver.

Passo 2

Lembrete da ferramenta que vamos usar (explicado passo a passo, sem pressupor conhecimento prévio).
  • Para uma série de potências centrada em 0 da forma \sum_{n=0}^\infty a_n x^n, uma forma prática de obter o raio de convergência é aplicar o teste da razão aos coeficientes a_n.
  • Definição prática: se L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|existe e é finito, então o raio de convergência é R=\frac{1}{L},com a convenção de que 1/0=\infty (ou seja, se L=0 então R=\infty). (Isto vem do teste da razão aplicado à série \sum a_n x^n: comparar \left|\dfrac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right| = |x|\cdot\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|.)
  • Se R=\infty a série converge para todo x\in\mathbb{R}, logo o intervalo de convergência é (-\infty,\infty) e não há “extremidades finitas” a verificar.

Passo 3

Identificar os coeficientes a_n da série e escrever a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Aqui a_n=\dfrac{(n+1)!}{(2n)!}.
  • Calculemos \frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{(n+2)!}{(2n+2)!}}{\dfrac{(n+1)!}{(2n)!}} =\frac{(n+2)!}{(n+1)!}\cdot\frac{(2n)!}{(2n+2)!}.
  • Simplificando fatoriais: \frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2, \qquad (2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!,então \frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{n+2}{(2n+2)(2n+1)}.

Passo 4

Analisar o comportamento assintótico dessa razão quando n\to\infty.
  • Temos \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+2}{(2n+2)(2n+1)} =\frac{n+2}{2(n+1)(2n+1)}.
  • Para grandes n o numerador cresce como n enquanto o denominador cresce como 4n^2. Formalmente, \frac{n+2}{(2n+2)(2n+1)} \sim \frac{n}{4n^2}=\frac{1}{4n}\quad\text{quando }n\to\infty,portanto essa expressão tende a 0.
  • Logo L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0.

Passo 5

Concluir o raio de convergência a partir do valor de L.
  • Pelo resultado do passo anterior, L=0.
  • Aplicando a relação R=1/L com a convenção 1/0=\infty, obtemos R=\infty.
  • Interpretação prática: a série de potências converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Verificação mais direta da convergência para um x arbitrário (confirmação didática).
  • Considere o termo geral da série com x fixo: b_n=a_n x^n=\dfrac{(n+1)!}{(2n)!}\,x^n.
  • O teste da razão aplicado a b_n \lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| =\lim_{n\to\infty}|x|\cdot\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =|x|\cdot 0 = 0.
  • Como esse limite é 0<1 para todo x finito, a série converge absolutamente para qualquer x\in\mathbb{R}. Isso confirma que não há “extremidades” a verificar: a convergência é global.

Passo 7

Comentário adicional (intuição): crescimento dos fatoriais.
  • Intuitivamente, (2n)! cresce muito mais rápido que (n+1)! (é aproximadamente da ordem de (2n)^{2n} e^{ -2n} contra n^{n}e^{-n} se usar Stirling). Por isso os coeficientes a_n tendem a zero muito rapidamente, fazendo a série convergir para todos os x.

Resposta

R=\infty
I=(-\infty,\infty)

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