Para cada série de potências abaixo, determine o Raio de Convergência (R) e o Intervalo de Convergência (I), realizando a verificação necessária nas extremidades do intervalo. \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)!}{(2 n)!} x^{n}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Série dada: \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)!}{(2n)!}\, x^{n}.
O que pedem:
Determinar o raio de convergência R.
Determinar o intervalo de convergência I (ou seja, os x\in\mathbb{R} para os quais a série converge), com verificação das extremidades, se houver.
Passo 2
Lembrete da ferramenta que vamos usar (explicado passo a passo, sem pressupor conhecimento prévio).
Para uma série de potências centrada em 0 da forma \sum_{n=0}^\infty a_n x^n, uma forma prática de obter o raio de convergência é aplicar o teste da razão aos coeficientes a_n.
Definição prática: seL=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|existe e é finito, então o raio de convergência éR=\frac{1}{L},com a convenção de que 1/0=\infty (ou seja, se L=0 então R=\infty). (Isto vem do teste da razão aplicado à série \sum a_n x^n: comparar \left|\dfrac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right| = |x|\cdot\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|.)
Se R=\infty a série converge para todo x\in\mathbb{R}, logo o intervalo de convergência é (-\infty,\infty) e não há “extremidades finitas” a verificar.
Passo 3
Identificar os coeficientes a_n da série e escrever a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}.
Para grandes n o numerador cresce como n enquanto o denominador cresce como 4n^2. Formalmente,\frac{n+2}{(2n+2)(2n+1)} \sim \frac{n}{4n^2}=\frac{1}{4n}\quad\text{quando }n\to\infty,portanto essa expressão tende a 0.
Concluir o raio de convergência a partir do valor de L.
Pelo resultado do passo anterior, L=0.
Aplicando a relação R=1/L com a convenção 1/0=\infty, obtemosR=\infty.
Interpretação prática: a série de potências converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.
Passo 6
Verificação mais direta da convergência para um x arbitrário (confirmação didática).
Considere o termo geral da série com x fixo: b_n=a_n x^n=\dfrac{(n+1)!}{(2n)!}\,x^n.
O teste da razão aplicado a b_n dá\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| =\lim_{n\to\infty}|x|\cdot\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =|x|\cdot 0 = 0.
Como esse limite é 0<1 para todo x finito, a série converge absolutamente para qualquer x\in\mathbb{R}. Isso confirma que não há “extremidades” a verificar: a convergência é global.
Passo 7
Comentário adicional (intuição): crescimento dos fatoriais.
Intuitivamente, (2n)! cresce muito mais rápido que (n+1)! (é aproximadamente da ordem de (2n)^{2n} e^{ -2n} contra n^{n}e^{-n} se usar Stirling). Por isso os coeficientes a_n tendem a zero muito rapidamente, fazendo a série convergir para todos os x.