Para cada série de potências abaixo, determine o Raio de Convergência (R) e o Intervalo de Convergência (I), realizando a verificação necessária nas extremidades do intervalo.
\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n \cdot 9^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o Raio de Convergência (R) e o Intervalo de Convergência (I) da série de potências, fazendo a verificação nas extremidades. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n\cdot 9^{n}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A soma é indexada por n=1,2,3,\ldots.
  • O termo geral é \dfrac{x^{2n}}{n\cdot 9^{n}}.
  • A série está centrada em 0 (é uma série em potências de x, com potências x^{2n}).
    As perguntas claras são:
  1. Calcular o raio de convergência R.
  2. Determinar o intervalo de convergência I (no eixo real), verificando se a série converge ou diverge em x=-R e x=+R.

Passo 2

Primeira ideia útil (re-escrever a série de forma mais simples): note que as potências aparecem como x^{2n}. Uma substituição conveniente é definir t=x^{2}. Assim a série torna-se uma série de potências em t:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{n}}{n\cdot 9^{n}}, \qquad\text{onde } t=x^{2}.
Explicando por que isso ajuda: séries da forma \sum a_n t^n têm raio de convergência em t que podemos encontrar por testes padrão (teste da raiz ou da razão). Depois convertimos a condição em t para uma condição em x usando t=x^2.

Passo 3

Vamos encontrar o raio de convergência em t usando o teste da raiz (é o método mais simples aqui). O teste da raiz para uma série \sum a_n t^n diz que ela converge quando
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n t^n|} < 1.
No nosso caso a_n=\dfrac{1}{n\cdot 9^{n}}, então
\sqrt[n]{\left|\frac{t^{n}}{n\cdot 9^{n}}\right|} = \frac{|t|}{9}\cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n}}.
Sabendo que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{n}}=1 (porque qualquer sequência n^{1/n}\to1), obtemos
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left|\frac{t^{n}}{n\cdot 9^{n}}\right|} = \frac{|t|}{9}.
Pela condição do teste da raiz, a série converge quando \dfrac{|t|}{9}<1, isto é quando |t|<9.

Passo 4

Converter a condição em t para x: lembrando que t=x^{2}, a condição |t|<9 vira
|x^{2}|<9 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}<9 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<3.
Portanto o Raio de Convergência em relação a x é
R=3.
Explicando: o raio R é a distância do centro (aqui 0) até a fronteira de convergência; concluímos que a série converge absolutamente para todo x com |x|<3.

Passo 5

Agora precisamos tratar as extremidades x=3 e x=-3. Substituindo x=3 no termo geral:
\frac{3^{2n}}{n\cdot 9^{n}}=\frac{9^{n}}{n\cdot 9^{n}}=\frac{1}{n}.
Logo a série em x=3 é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica e diverge. Conclusão: a série diverge em x=3.

Passo 6

Para x=-3 temos (-3)^{2n}=9^{n} também (porque a potência é par), então o termo geral em x=-3 é idêntico:
\frac{(-3)^{2n}}{n\cdot 9^{n}}=\frac{9^{n}}{n\cdot 9^{n}}=\frac{1}{n}.
Portanto a série em x=-3 também é \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que diverge. Conclusão: a série diverge em x=-3.

Passo 7

Juntando tudo: a região de convergência é o conjunto de x reais tal que |x|<3. Nas extremidades |x|=3 a série diverge. Então o intervalo de convergência é o intervalo aberto (-3,3).

Resposta

R=3
I=(-3,3)

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