Para cada série de potências abaixo, determine o Raio de Convergência (R) e o Intervalo de Convergência (I), realizando a verificação necessária nas extremidades do intervalo. \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n \cdot 9^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar o Raio de Convergência (R) e o Intervalo de Convergência (I) da série de potências, fazendo a verificação nas extremidades. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n\cdot 9^{n}}.
Informações relevantes fornecidas:
A soma é indexada por n=1,2,3,\ldots.
O termo geral é \dfrac{x^{2n}}{n\cdot 9^{n}}.
A série está centrada em 0 (é uma série em potências de x, com potências x^{2n}).
As perguntas claras são:
Calcular o raio de convergência R.
Determinar o intervalo de convergência I (no eixo real), verificando se a série converge ou diverge em x=-R e x=+R.
Passo 2
Primeira ideia útil (re-escrever a série de forma mais simples): note que as potências aparecem como x^{2n}. Uma substituição conveniente é definir t=x^{2}. Assim a série torna-se uma série de potências em t:
Explicando por que isso ajuda: séries da forma \sum a_n t^n têm raio de convergência em t que podemos encontrar por testes padrão (teste da raiz ou da razão). Depois convertimos a condição em t para uma condição em x usando t=x^2.
Passo 3
Vamos encontrar o raio de convergência em t usando o teste da raiz (é o método mais simples aqui). O teste da raiz para uma série \sum a_n t^n diz que ela converge quando
Explicando: o raio R é a distância do centro (aqui 0) até a fronteira de convergência; concluímos que a série converge absolutamente para todo x com |x|<3.
Passo 5
Agora precisamos tratar as extremidades x=3 e x=-3. Substituindo x=3 no termo geral:
Portanto a série em x=-3 também é \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que diverge. Conclusão: a série diverge em x=-3.
Passo 7
Juntando tudo: a região de convergência é o conjunto de x reais tal que |x|<3. Nas extremidades |x|=3 a série diverge. Então o intervalo de convergência é o intervalo aberto (-3,3).