Use o método dos multiplicadores de Lagrange para estudar os pontos de extremum da função
f(x, y, z)=x+y+z
sujeita à restrição
g(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-27=0.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x+y+z e a restrição \;g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-27=0.\n
Pede-se estudar os pontos de extremo de f quando (x,y,z) varia sobre a esfera definida por \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=27.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função objetivo é \;f(x,y,z)=x+y+z.\n
  • A restrição é a esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=27.\n
  • Precisamos encontrar pontos sobre essa esfera onde f atinge máximos ou mínimos (se existirem) e classificá-los.

Passo 2

Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicadinha): queremos pontos na superfície onde pequenas variações que respeitem a restrição não mudam, ao primeiro ordem, o valor de f. Isso acontece quando o gradiente de f é paralelo ao gradiente da restrição g. Para formalizar, definimos a Lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda\,g(x,y,z).
Aqui \lambda é o multiplicador de Lagrange. O gradiente de \mathcal{L} deve ser nulo nas variáveis x,y,z (e devemos satisfazer a restrição). Explicando símbolos:
  • \nabla f é o vetor das derivadas parciais de f: \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z).\n
  • \nabla g é o vetor das derivadas parciais de g.\n
    A condição resulta nas equações \nabla f=\lambda\,\nabla g juntamente com a restrição g=0.

Passo 3

Calcular os gradientes e escrever as equações de Lagrange.\n
Primeiro os gradientes:
\nabla f=(1,1,1),
\nabla g=(2x,2y,2z).
A condição \nabla f=\lambda\,\nabla g dá o sistema de equações
1=2\lambda x,
1=2\lambda y,
1=2\lambda z.
Além disso precisamos da restrição
x^{2}+y^{2}+z^{2}=27.

Passo 4

Resolver o sistema das equações de Lagrange.\n
Das três equações 1=2\lambda x, 1=2\lambda y, 1=2\lambda z obtemos
2\lambda x = 2\lambda y = 2\lambda z = 1.
Note que \lambda não pode ser zero, porque se \lambda=0 teríamos 1=0, impossível. Como \lambda\neq0 podemos dividir e concluir que
x=y=z.
Chamo esse valor comum de t, ou seja x=y=z=t.

Passo 5

Aplicar a restrição com x=y=z=t.\n
Substituindo na restrição \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=27 obtemos
3t^{2}=27.
Logo
t^{2}=9,
portanto
t=3\quad\text{ou}\quad t=-3.
Assim os candidatos a extremos são os pontos
(3,3,3)\quad\text{e}\quad(-3,-3,-3).

Passo 6

Avaliar f nesses pontos para ver os valores de f.\n
Calculemos:
f(3,3,3)=3+3+3=9,
f(-3,-3,-3)=-3-3-3=-9.
Temos portanto dois valores distintos: 9 e -9.

Passo 7

Classificar quais são máximo e mínimo (intuição e verificação com desigualdade de Cauchy–Schwarz).\n
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz temos, para quaisquer (x,y,z),
|x+y+z| \le \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}\;\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{3}\,\sqrt{27}=9.
Logo -9\le x+y+z\le 9 sobre a esfera dada, e os extremos \pm 9 só ocorrem quando (x,y,z) é paralelo a (1,1,1), isto é, quando x=y=z. Com a restrição do módulo fixo, isso dá exatamente os pontos (3,3,3) (igualdade positiva) e (-3,-3,-3) (igualdade negativa).\n
Portanto (3,3,3) é o ponto de máximo global com f=9 e (-3,-3,-3) é o ponto de mínimo global com f=-9.

Resposta

Máximo global em (3,3,3) com f(3,3,3)=9.\n
Mínimo global em (-3,-3,-3) com f(-3,-3,-3)=-9.

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