Use o método dos multiplicadores de Lagrange para estudar os pontos de extremum da função
sujeita à restrição
.
sujeita à restrição
Passo 1
O enunciado dá a função
e a restrição
.\n
Pede-se estudar os pontos de extremo de quando
varia sobre a esfera definida por
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Pede-se estudar os pontos de extremo de
Informações relevantes fornecidas:
- A função objetivo é
.\n - A restrição é a esfera
.\n - Precisamos encontrar pontos sobre essa esfera onde
atinge máximos ou mínimos (se existirem) e classificá-los.
Passo 2
Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicadinha): queremos pontos na superfície onde pequenas variações que respeitem a restrição não mudam, ao primeiro ordem, o valor de
. Isso acontece quando o gradiente de
é paralelo ao gradiente da restrição
. Para formalizar, definimos a Lagrangiana
Aqui
é o multiplicador de Lagrange. O gradiente de
deve ser nulo nas variáveis
(e devemos satisfazer a restrição). Explicando símbolos:
-
é o vetor das derivadas parciais de : .\n -
é o vetor das derivadas parciais de .\n
A condição resulta nas equaçõesjuntamente com a restrição .
Passo 3
Calcular os gradientes e escrever as equações de Lagrange.\n
Primeiro os gradientes:
Primeiro os gradientes:
A condição
dá o sistema de equações
Além disso precisamos da restrição
Passo 4
Resolver o sistema das equações de Lagrange.\n
Das três equações ,
,
obtemos
Das três equações
Note que
não pode ser zero, porque se
teríamos
, impossível. Como
podemos dividir e concluir que
Chamo esse valor comum de
, ou seja
.
Passo 5
Aplicar a restrição com
.\n
Substituindo na restrição obtemos
Substituindo na restrição
Logo
portanto
Assim os candidatos a extremos são os pontos
Passo 6
Avaliar
nesses pontos para ver os valores de
.\n
Calculemos:
Calculemos:
Temos portanto dois valores distintos:
e
.
Passo 7
Classificar quais são máximo e mínimo (intuição e verificação com desigualdade de Cauchy–Schwarz).\n
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz temos, para quaisquer ,
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz temos, para quaisquer
Logo
sobre a esfera dada, e os extremos
só ocorrem quando
é paralelo a
, isto é, quando
. Com a restrição do módulo fixo, isso dá exatamente os pontos
(igualdade positiva) e
(igualdade negativa).\n
Portanto é o ponto de máximo global com
e
é o ponto de mínimo global com
.
Portanto
Resposta
Máximo global em
com
.\n
Mínimo global em com
.
Mínimo global em