Para cada série, sendo
a sequência das somas parciais, obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontre sua soma.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) obter uma fórmula para a sequência das somas parciais
da série
; (2) decidir se a série infinita converge ou diverge e, se converge, encontrar sua soma.
Informações dadas: o termo geral da série é para
. A sequência
é definida por
.
Informações dadas: o termo geral da série é
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais — isso costuma transformar a soma em uma soma telescópica, que simplifica bastante. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agrupando termos em
e os termos constantes:
Como o lado direito não tem termo em
, temos o sistema
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
. Logo
.
Passo 3
Com os valores de
e
obtidos, a decomposição é
Portanto a soma parcial
é
Passo 4
Agora escrevemos os primeiros termos da soma interna para ver o efeito telescópico:
Observe que muitos termos se cancelam:
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. O que sobra é apenas
Multiplicando por
obtemos a fórmula fechada para a soma parcial:
Podemos simplificar esta expressão:
Passo 5
Para decidir sobre a convergência da série, usamos que a série converge se, e somente se, a sequência das somas parciais
tem limite finito quando
. Calculamos
Dividindo numerador e denominador por
ou observando os coeficientes líderes, obtemos
Portanto a série converge e sua soma é
. Vai dar tudo certo na prova — você viu passo a passo e a técnica principal é a decomposição em frações parciais que gera o telescoping. Força!
Resposta
A série converge e