Para cada série, sendo \left\{S_{n}\right\} a sequência das somas parciais, obtenha uma fórmula para S_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontre sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) obter uma fórmula para a sequência das somas parciais \{S_n\} da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}; (2) decidir se a série infinita converge ou diverge e, se converge, encontrar sua soma.
Informações dadas: o termo geral da série é \displaystyle \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} para n=1,2,3,\dots. A sequência \{S_n\} é definida por \displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais — isso costuma transformar a soma em uma soma telescópica, que simplifica bastante. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (2n-1)(2n+1) obtemos
1 = A(2n+1)+B(2n-1).
Agrupando termos em n e os termos constantes:
1 = (2A+2B)n + (A-B).
Como o lado direito não tem termo em n, temos o sistema
2A+2B=0,\qquad A-B=1.
Da primeira equação A=-B. Substituindo na segunda: A-(-A)=1 \Rightarrow 2A=1 \Rightarrow A=\tfrac{1}{2}. Logo B=-\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Com os valores de A e B obtidos, a decomposição é
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).
Portanto a soma parcial \displaystyle S_n é
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right).

Passo 4

Agora escrevemos os primeiros termos da soma interna para ver o efeito telescópico:
\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right) =\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right) +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) +\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).
Observe que muitos termos se cancelam: -\frac{1}{3} cancela com +\frac{1}{3}, -\frac{1}{5} cancela com +\frac{1}{5}, e assim por diante. O que sobra é apenas
1-\frac{1}{2n+1}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos a fórmula fechada para a soma parcial:
S_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right).
Podemos simplificar esta expressão:
S_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n}{2n+1}=\frac{n}{2n+1}.

Passo 5

Para decidir sobre a convergência da série, usamos que a série converge se, e somente se, a sequência das somas parciais S_n tem limite finito quando n\to\infty. Calculamos
\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}.
Dividindo numerador e denominador por n ou observando os coeficientes líderes, obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}.
Portanto a série converge e sua soma é \tfrac{1}{2}. Vai dar tudo certo na prova — você viu passo a passo e a técnica principal é a decomposição em frações parciais que gera o telescoping. Força!

Resposta

\displaystyle S_n=\frac{n}{2n+1}
A série converge e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}

Exercícios relacionados