Para cada uma das séries abaixo, determine se converge ou diverge. Não é necessário calcular a soma no caso de convergência.
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Passo 1
Neste exercício temos a série alternada
. O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para séries, que nos permite verificar convergência absoluta ao comparar o crescimento de fatoriais e polinômios.
Passo 2
Definimos o termo genérico positivo
e aplicamos o teste da razão. Calculamos
Passo 3
[
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
= \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^{25}}{(n+3)!} \cdot \frac{(n+2)!}{n^{25}}
= \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1){25}}{n{25}} \cdot \frac{1}{n+3}
= \lim_{n\to\infty} \frac{(1+1/n)^{25}}{n+3}
= 0 < 1.
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
= \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^{25}}{(n+3)!} \cdot \frac{(n+2)!}{n^{25}}
= \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1){25}}{n{25}} \cdot \frac{1}{n+3}
= \lim_{n\to\infty} \frac{(1+1/n)^{25}}{n+3}
= 0 < 1.
Passo 4
Como o limite da razão é menor que 1, a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência da série original alternada.
Resposta
A série converge (convergência absoluta, logo converge).