Para cada uma das séries abaixo, determine se converge ou diverge. Não é necessário calcular a soma no caso de convergência.
© sumn=1^infty (-1)^n n^25(n+2)!

Passo 1

Neste exercício temos a série alternada sumn=1^infty (-1)^n n^25(n+2)!. O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para séries, que nos permite verificar convergência absoluta ao comparar o crescimento de fatoriais e polinômios.

Passo 2

Definimos o termo genérico positivo an = n^25(n+2)! e aplicamos o teste da razão. Calculamos

Passo 3

[
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
= \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^{25}}{(n+3)!} \cdot \frac{(n+2)!}{n^{25}}
= \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1){25}}{n{25}} \cdot \frac{1}{n+3}
= \lim_{n\to\infty} \frac{(1+1/n)^{25}}{n+3}
= 0 < 1.

Passo 4

Como o limite da razão é menor que 1, a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência da série original alternada.

Resposta

A série converge (convergência absoluta, logo converge).

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