Seja f uma função com derivada contínua em [a, b]. Sabendo que o comprimento L da curva y=f(x), com a <= x <= b, é dado por
L=integrala^b raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
calcule o comprimento das seguintes curvas dadas em coordenadas retangulares (cartesianas):
© y=ln (1-x^2), com x in[14, 34]. Resposta: ln (215)-12.

Passo 1

Estamos calculando o comprimento de arco da curva definida por y=ln(1-x^2) no intervalo xin[1/4,3/4]. O conteúdo principal é a fórmula de comprimento de arco de uma função f:
L=integrala^braiz1+l[f'(x)r]^2,dx
e vamos precisar da derivada de f(x) e de técnicas de integração de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de f(x)=ln(1-x^2). Usando a regra da cadeia:
f'(x)=ddxln(1-x^2)=11-x^2cdot(-2x)=-2x1-x^2

Passo 3

Em seguida, montamos o integrando:
1+l[f'(x)r]^2=1+4x^2(1-x^2)^2 =(1-x^2)^2+4x^2(1-x^2)^2 =1+2x^2+x^4(1-x^2)^2 =(1+x^2)^2(1-x^2)^2
Logo,
raiz1+l[f'(x)r]^2=1+x^21-x^2

Passo 4

Agora precisamos integrar
L=integral1/4^3/41+x^21-x^2,dx
Para simplificar, fazemos divisão de polinômios:
1+x^21-x^2=-1+21-x^2
Então
L=integral1/4^3/4l(-1+21-x^2r)dx =-integral1/4^3/4dx+2integral1/4^3/4dx1-x^2

Passo 5

Sabemos que
integraldx1-x^2=12lnl|1+x1-xr|
Portanto,
L=l[-xr]1/4^3/4+2cdot12l[ln1+x1-xr]1/4^3/4 =-l(34-14r)+l(ln1+3/41-3/4-ln1+1/41-1/4r)

Passo 6

Fazendo as contas,
-l(34-14r)=-12,
ln1+3/41-3/4=ln7/41/4=ln7,
ln1+1/41-1/4=ln5/43/4=ln53
Assim,
L=-12+ln7-ln53=-12+ln71!!!/!!!53=-12+ln215

Resposta

L=lnl(tfrac215r)-tfrac12

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