Seja
uma função com derivada contínua em
. Sabendo que o comprimento
da curva
, com
, é dado por
calcule o comprimento das seguintes curvas dadas em coordenadas retangulares (cartesianas):
©
, com
. Resposta:
.
©
Passo 1
Estamos calculando o comprimento de arco da curva definida por
no intervalo
. O conteúdo principal é a fórmula de comprimento de arco de uma função
:
e vamos precisar da derivada de
e de técnicas de integração de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de
. Usando a regra da cadeia:
Passo 3
Em seguida, montamos o integrando:
Logo,
Passo 4
Agora precisamos integrar
Para simplificar, fazemos divisão de polinômios:
Então
Passo 5
Sabemos que
Portanto,
Passo 6
Fazendo as contas,
Assim,