Para cada uma das séries abaixo, determine se converge ou diverge. Não é necessário calcular a soma no caso de convergência.
(d) sumn=5^infty raizn+1(n-1)(n+2)(n-4)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=5^infty raizn+1(n-1)(n+2)(n-4) converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e vamos usar o teste de comparação limite.

Passo 2

Para ver com qual série comparar, analisamos o comportamento de an=raizn+1(n-1)(n+2)(n-4) para n grande. Aproximamos n-1approx n, n+2approx n e n-4approx n, de modo que
ansimraiznn^3=1n^5/2

Passo 3

Definimos a série de comparação bn=1/n^5/2 e aplicamos o teste de comparação limite. Calculamos
L=limntoinftyanbn=limntoinfty(raizn+1),n^5/2(n-1)(n+2)(n-4)

Passo 4

Para encontrar L, notamos que o numerador vale n^3+n^5/2 e o denominador comporta-se como n^3, logo
L=limntoinftyn^3+n^5/2n^3=1

Passo 5

Como 0 e sum bn=sum1/n^5/2 é convergente (p-série com p=5/2>1), pelo teste de comparação limite a série original também converge.

Resposta

Converge.

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