Para cada uma das séries abaixo, determine se converge ou diverge. Não é necessário calcular a soma no caso de convergência.
(a) sumn=1^infty n sin ^2(n pi / 3)2^n

Passo 1

Estamos analisando a série sumn=1^inftynsin^2(npi/3)2^n. O conteúdo aqui é estudo de convergência de séries numéricas, e vamos precisar usar o padrão periódico de sin^2(npi/3) e um teste de convergência (por exemplo, comparação ou razão).

Passo 2

A sequência sin(npi/3) tem período 6. Calculando sin^2(npi/3) para nbmod6: quando nequiv0pmod3 temos sin(npi/3)=0 e sin^2(npi/3)=0; nos demais casos sin^2(npi/3)=3/4.

Passo 3

Substituindo esse padrão na série, obtemos que os termos são nulos para nequiv0pmod3 e iguais a tfrac3n4,2^n caso contrário. Ou seja, é equivalente a estudar a convergência de sumn=1^inftytfrac3n4,2^n (tirando alguns zeros).

Passo 4

Sabemos que a série sum n/2^n converge (pode-se usar teste da razão: limntoinfty(n+1)/2^n+1n/2^n=1/2<1 ou comparação com série geométrica). Multiplicando por constante 3/4 não altera a convergência, e omitir termos nulos também não. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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