b) A equação
tem
como fator integrante. Determine todas as possíveis funções
.
c) Ache um fator integrante da forma
para a equação
c) Ache um fator integrante da forma
Passo 1
Temos duas equações diferenciais envolvendo fatores integrantes. Na parte b) a equação é
e sabemos que há um fator integrante dependente só de
, dado por
. Vamos usar a condição de exatidão após multiplicar por
. Na parte c) a equação é
e buscamos um fator integrante da forma
. Para isso, aplicaremos novamente a condição de exatidão
após multiplicação por
.
Passo 2
Parte b): Identificamos
Multiplicando por
obtemos
A condição de exatidão é
Igualando-as surge a equação
ou ainda
Este é um ODE linear de 1ª ordem com fator integrante
.
Passo 3
Resolvendo
integramos:
logo
onde
é constante arbitrária.
Passo 4
Parte c): Identificamos
Propondo
temos
Calculamos
Igualando e observando que o lado esquerdo não depende de
, forçamos
, isto é
. Substituindo e igualando os coeficientes em
obtemos
, logo
.
Resposta
b) As funções possíveis são g(x)=\frac{x}{2}+\frac{C}{x}, onde C é constante arbitrária.
c) Um fator integrante é h(x,y)=x{-1}y{-2}.
c) Um fator integrante é h(x,y)=x{-1}y{-2}.