b) A equação g(x) d y+(y+x) d x=0 tem h(x)=x como fator integrante. Determine todas as possíveis funções g.
c) Ache um fator integrante da forma h(x, y)=x^n y^m para a equação y(y^2+) d x+x(y^2-1) ln (x) d y=0

Passo 1

Temos duas equações diferenciais envolvendo fatores integrantes. Na parte b) a equação é
g(x),dy + (y + x),dx = 0
e sabemos que há um fator integrante dependente só de x, dado por h(x)=x. Vamos usar a condição de exatidão após multiplicar por h. Na parte c) a equação é
y(y^2 + 1),dx + x(y^2 - 1)ln(x),dy = 0
e buscamos um fator integrante da forma h(x,y)=x^n y^m. Para isso, aplicaremos novamente a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x após multiplicação por h.

Passo 2

Parte b): Identificamos
M(x,y)=y+x,
N(x,y)=g(x)
Multiplicando por h(x)=x obtemos
M^*(x,y)=x(y+x)=xy+x^2,
N^*(x,y)=xg(x)
A condição de exatidão é
partial M^*partial y=x,
partial N^*partial x=g(x)+xg'(x)
Igualando-as surge a equação
x = g(x) + xg'(x)
ou ainda
g'(x) + g(x)x = 1
Este é um ODE linear de 1ª ordem com fator integrante mu(x)=x.

Passo 3

Resolvendo
ddxl(xg(x)r)=x
integramos:
xg(x)=integral x,dx=x^22+C
logo
g(x)=x2+Cx,
onde C é constante arbitrária.

Passo 4

Parte c): Identificamos
M(x,y)=y(y^2+1)=y^3+y,
N(x,y)=x(y^2-1)ln(x)
Propondo h(x,y)=x^n y^m temos
M^*=x^n y^m(y^3+y)=x^nl(y^m+3+y^m+1r),
N^*=x^n y^mcdot x(y^2-1)ln(x)=x^n+1l(y^m+2-y^mr)ln(x)
Calculamos
partial M^*partial y=x^nl((m+3)y^m+2+(m+1)y^mr),
partial N^*partial x=x^nl((n+1)(y^m+2-y^m)ln(x)+(y^m+2-y^m)r)
Igualando e observando que o lado esquerdo não depende de ln(x), forçamos n+1=0, isto é n=-1. Substituindo e igualando os coeficientes em y obtemos m+2=0, logo m=-2.

Resposta

b) As funções possíveis são g(x)=\frac{x}{2}+\frac{C}{x}, onde C é constante arbitrária.
c) Um fator integrante é h(x,y)=x{-1}y{-2}.

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