Para cada uma das séries a seguir determine:
1) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{10^{n}}
2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{n^{3} 3 n}
3) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 x+1)^{n+1}}{2 n+2}
4) \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(x-3)^{n}.
a) O raio de convergência da série;
b) Os valores de x para os quais a série converge;
c) Os valores de x para os quais a série é absolutamente convergente;
d) Os valores de x para os quais a série é condicionalmente convergente.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro séries de potências e pede, para cada uma, (a) o raio de convergência, (b) os valores de x em que a série converge, (c) onde converge absolutamente e (d) onde converge condicionalmente. O conteúdo principal é análise de convergência de séries de potências, usando principalmente o teste da razão (ou teste da raiz) para achar o raio, e depois examinar o comportamento nos pontos extremos do intervalo de convergência.
Passo 2
Série 1:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{10^{n}}.
Aplicando o teste da razão, para o termo geral a_n=\frac{(x-2)^n}{10^n}:
Para convergência é preciso L<1, ou seja \bigl|x-2\bigr|<10.
(a) Raio de convergência R=10.
(b) Converge para \bigl|x-2\bigr|<10.
(c) Absoluta para \bigl|x-2\bigr|<10.
(d) Nos extremos x=2\pm10:
x=12 dá \sum1, diverge.
x=-8 dá \sum(-1)^n, diverge (não tende a zero).
Logo não há convergência condicional.
Passo 3
Série 2:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{n^{3}3^{n}}.
Vamos ao teste da razão, com a_n=(x-1)^n/(n^3 3^n):
Converge se |3x+1|<1, i.e. -1<3x+1<1 ou -\tfrac23<x<0.
(a) Raio R=\tfrac13.
(b) Converge para -\tfrac23<x<0.
(c) Converge absolutamente em -\tfrac23<x<0.
(d) Nos extremos:
x=0 dá \sum1/(2n+2)\sim\sum1/n, diverge.
x=-\tfrac23 dá \sum(-1)^{n+1}/(2n+2), série alternada cujos termos decrescem a 0, convergência condicional.