Para cada uma das séries a seguir determine:
1)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{10^{n}}
2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{n^{3} 3 n}
3) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 x+1)^{n+1}}{2 n+2}
4) \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(x-3)^{n}.
a) O raio de convergência da série;
b) Os valores de x para os quais a série converge;
c) Os valores de x para os quais a série é absolutamente convergente;
d) Os valores de x para os quais a série é condicionalmente convergente.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro séries de potências e pede, para cada uma, (a) o raio de convergência, (b) os valores de x em que a série converge, (c) onde converge absolutamente e (d) onde converge condicionalmente. O conteúdo principal é análise de convergência de séries de potências, usando principalmente o teste da razão (ou teste da raiz) para achar o raio, e depois examinar o comportamento nos pontos extremos do intervalo de convergência.

Passo 2

Série 1:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{10^{n}}.
Aplicando o teste da razão, para o termo geral a_n=\frac{(x-2)^n}{10^n}:
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x-2|^{n+1}/10^{n+1}}{|x-2|^n/10^n} =\frac{|x-2|}{10}.
Para convergência é preciso L<1, ou seja \bigl|x-2\bigr|<10.
(a) Raio de convergência R=10.
(b) Converge para \bigl|x-2\bigr|<10.
(c) Absoluta para \bigl|x-2\bigr|<10.
(d) Nos extremos x=2\pm10:
  • x=12 \sum1, diverge.
  • x=-8 \sum(-1)^n, diverge (não tende a zero).
    Logo não há convergência condicional.

Passo 3

Série 2:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{n^{3}3^{n}}.
Vamos ao teste da razão, com a_n=(x-1)^n/(n^3 3^n):
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|^{n+1}/[(n+1)^3 3^{n+1}]}{|x-1|^n/(n^3 3^n)} =\frac{|x-1|}{3}\,\lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{(n+1)^3} =\frac{|x-1|}{3}.
Para convergir, \bigl|x-1\bigr|<3.
(a) R=3.
(b) Converge se \bigl|x-1\bigr|<3.
(c) Absoluta em \bigl|x-1\bigr|<3.
(d) Nos extremos:
  • x=4 \sum1/(n^3), converge (p-série p=3>1).
  • x=-2 \sum(-1)^n/(n^3), também converge absolutamente.
    Não há convergência condicional extra.

Passo 4

Série 3:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3x+1)^{n+1}}{2n+2}.
Defina a_n=(3x+1)^{n+1}/(2n+2). Pelo teste da razão:
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|3x+1|^{n+2}/[2(n+1)+2]}{|3x+1|^{n+1}/(2n+2)} =|3x+1|\;\lim_{n\to\infty}\frac{2n+2}{2n+4} =|3x+1|.
Converge se |3x+1|<1, i.e. -1<3x+1<1 ou -\tfrac23<x<0.
(a) Raio R=\tfrac13.
(b) Converge para -\tfrac23<x<0.
(c) Converge absolutamente em -\tfrac23<x<0.
(d) Nos extremos:
  • x=0 \sum1/(2n+2)\sim\sum1/n, diverge.
  • x=-\tfrac23 \sum(-1)^{n+1}/(2n+2), série alternada cujos termos decrescem a 0, convergência condicional.

Passo 5

Série 4:
\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(x-3)^{n}.
Use o teste da raiz:
\sqrt[n]{\bigl|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr|\;\bigl|x-3\bigr|^n} =\bigl|x-3\bigr|\;\sqrt[n]{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\bigl|x-3\bigr|\cdot1.
Logo converge se \bigl|x-3\bigr|<1.
(a) R=1.
(b) Converge para 2<x<4.
(c) Absoluta em 2<x<4.
(d) Nos extremos:
  • x=4 \sum(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}), que telescopa em \sqrt{N+1}-1\to\infty, diverge.
  • x=2 \sum(-1)^n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}), é série alternada com termos positivos decrescentes a 0, logo converge condicionalmente.

Resposta

  1. R =10; converge para \lvert x-2\rvert<10; convergência absoluta no mesmo intervalo; sem convergência condicional.
  2. R =3; converge para \lvert x-1\rvert<3; convergência absoluta no mesmo intervalo e nos extremos x=4 e x=-2; sem convergência condicional.
  3. R =\tfrac13; converge para -\tfrac23<x<0; convergência absoluta no mesmo intervalo; convergência condicional em x=-\tfrac23.
  4. R =1; converge para 2<x<4; convergência absoluta em 2<x<4; convergência condicional em x=2.

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