verifique que a série
é convergente, mas não é absolutamente convergente, isto é, ela é condicionalmente convergente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a série
é convergente, mas a série de termos absolutos
é divergente. O conteúdo principal é o teste de Leibniz para séries alternadas e o telescoping para testar divergência da soma de logaritmos.
Passo 2
Defina
. Primeiro, note que
Passo 3
Mostramos que
é monótona decrescente para
. Considere a função
cuja derivada é
Logo,
decresce em
, e temos
.
Passo 4
Pela condição de Leibniz (série alternada com termos que tendem a zero e decrescentes em módulo), concluímos que
é convergente.
Passo 5
Para a convergência absoluta, observe a soma parcial da série dos valores absolutos:
Como
quando
, a série
diverge. Portanto não há convergência absoluta.
Resposta
A série é convergente pelo teste de Leibniz, mas não é absolutamente convergente. Em outras palavras, ela é condicionalmente convergente.