verifique que a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) é convergente, mas não é absolutamente convergente, isto é, ela é condicionalmente convergente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)
é convergente, mas a série de termos absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)
é divergente. O conteúdo principal é o teste de Leibniz para séries alternadas e o telescoping para testar divergência da soma de logaritmos.

Passo 2

Defina a_{n}=\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr). Primeiro, note que
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr) =\ln(1+0)=0.

Passo 3

Mostramos que (a_{n}) é monótona decrescente para n\ge1. Considere a função
f(x)=\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr),
cuja derivada é
f'(x) =\frac{d}{dx}\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr) =-\frac{1}{x(x+1)}<0\quad\text{para }x>0.
Logo, f decresce em [1,\infty), e temos a_{n+1}<a_{n}.

Passo 4

Pela condição de Leibniz (série alternada com termos que tendem a zero e decrescentes em módulo), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n}
é convergente.

Passo 5

Para a convergência absoluta, observe a soma parcial da série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{N}\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr) =\sum_{n=1}^{N}\ln\frac{n+1}{n} =\sum_{n=1}^{N}\bigl[\ln(n+1)-\ln n\bigr] =\ln(N+1)-\ln(1) =\ln(N+1).
Como \ln(N+1)\to\infty quando N\to\infty, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr) diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Resposta

A série é convergente pelo teste de Leibniz, mas não é absolutamente convergente. Em outras palavras, ela é condicionalmente convergente.

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