Determine a série de Taylor da função f(x)=e^{2 x} ao redor de a=-1. Achar o raio de convergência da série.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=e^{2x} em torno de a=-1. Vamos usar a fórmula geral de Taylor
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
precisando, portanto, das derivadas f^{(n)}(x) e do valor delas em x=-1.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f: toda vez que derivamos e^{2x} aparece um fator 2. Assim
f^{(n)}(x)=2^n e^{2x}
e, em particular, em x=-1 temos
f^{(n)}(-1)=2^n e^{2(-1)}=2^n e^{-2}.

Passo 3

Substituindo na fórmula de Taylor com a=-1 e (x-a)=(x+1), obtemos
e^{2x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n e^{-2}}{n!}(x+1)^n =e^{-2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\bigl(2(x+1)\bigr)^n}{n!}.

Passo 4

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão ao termo geral
a_n=\frac{2^n e^{-2}}{n!}(x+1)^n.
Calculando
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\frac{n!}{2^n}\,\bigl|x+1\bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}\,\bigl|x+1\bigr| =0,
o que indica convergência para todo x. Portanto o raio de convergência é infinito.

Resposta

A expansão de Taylor de e^{2x} em torno de a=-1 é
e^{2x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n e^{-2}}{n!}(x+1)^n
e o raio de convergência é R=\infty.

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