Determine a série de Taylor da função
ao redor de
. Achar o raio de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
em torno de
. Vamos usar a fórmula geral de Taylor
precisando, portanto, das derivadas
e do valor delas em
.
Passo 2
Calculamos as derivadas de
: toda vez que derivamos
aparece um fator
. Assim
e, em particular, em
temos
Passo 3
Substituindo na fórmula de Taylor com
e
, obtemos
Passo 4
Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão ao termo geral
Calculando
o que indica convergência para todo
. Portanto o raio de convergência é infinito.
Resposta
A expansão de Taylor de
em torno de
é
e o raio de convergência é
.