Estude a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\ln (n)}{n}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{\ln(n)}{n}\Bigr)^{n}.
O conteúdo principal é séries numéricas e vamos aplicar o teste da raiz de Cauchy.

Passo 2

O teste da raiz de Cauchy afirma que, para uma série \sum a_n, se existir
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}
e L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 3

No nosso caso definimos
a_n = \Bigl(\frac{\ln(n)}{n}\Bigr)^{n}.
Logo
\sqrt[n]{a_n} \;=\;\frac{\ln(n)}{n}.
Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0,
portanto L=0.

Passo 4

Como L=0<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente e, assim, converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{\ln(n)}{n}\bigr)^{n} converge absolutamente e, consequentemente, converge.

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