Para cada sistema linear abaixo, escreva a matriz ampliada associada e, por meio de operações elementares nas linhas, determine sua forma escalonada reduzida.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=17 \\\\ -x_{1}-2 x_{2}+x_{3}-8 x_{4}=4 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}+7 x_{4}=13\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sistema
\begin{cases} x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=17,\\[4pt] - x_{1}-2 x_{2}+x_{3}-8 x_{4}=4,\\[4pt] 2 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}+7 x_{4}=13. \end{cases}
As perguntas explícitas que vamos responder:
  • Escrever a matriz ampliada associada ao sistema.
  • Usar operações elementares nas linhas para obter a forma escalonada reduzida (RREF) dessa matriz.
Informações relevantes dadas:
  • As incógnitas são x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • Cada equação fornece uma linha da matriz de coeficientes e o termo independente (coluna ampliada).]

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz ampliada (coluna dos termos independentes junto com a matriz de coeficientes). Peguei os coeficientes das três equações do enunciado:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & -1 & 17\\[4pt] -1 & -2 & 1 & -8 & 4\\[4pt] 2 & 4 & 1 & 7 & 13 \end{array}\right].
Aqui cada linha corresponde, respectivamente, às equações 1, 2 e 3; as colunas (antes da barra) correspondem às incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, e a coluna à direita da barra são os termos independentes.]

Passo 3

Explicando as operações elementares que usarei (aula rápida e prática):
  • Trocar duas linhas: troca a ordem das equações, útil às vezes.
  • Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: escala uma equação por um número.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha: elimina coeficientes e é a operação-chave para escalonar.
Objetivo do escalonamento: obter uma forma em que haja pivôs (uns à esquerda) e zeros abaixo (e, para a forma escalonada reduzida, zeros também acima) desses pivôs. Cada pivô corresponde a uma variável básica; colunas sem pivô serão variáveis livres.

Passo 4

Vamos começar a eliminar abaixo do primeiro pivô. O pivô inicial é 1 em posição (1,1) (primeira linha, primeira coluna). Vou usar a primeira linha para zerar as entradas nas linhas 2 e 3 na coluna 1.
Operações:
  • L_{2}\leftarrow L_{2}+L_{1} (para eliminar o -1 em (2,1)).
  • L_{3}\leftarrow L_{3}-2L_{1} (para eliminar o 2 em (3,1)).
Aplicando essas operações à matriz do Passo 2 obtemos:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & -1 & 17\\[4pt] 0 & 0 & 3 & -9 & 21\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 9 & -21 \end{array}\right].
Explicação numérica passo a passo:
  • Para L_{2}+L_{1}: (-1)+1=0,\;(-2)+2=0,\;1+2=3,\;-8+(-1)=-9,\;4+17=21.
  • Para L_{3}-2L_{1}: 2-2\cdot1=0,\;4-2\cdot2=0,\;1-2\cdot2=-3,\;7-2(-1)=7+2=9,\;13-2\cdot17=13-34=-21.]

Passo 5

Agora observe as linhas 2 e 3: a linha 3 é exatamente -1 vezes a linha 2. Isso indica que uma delas será linha nula após somá-las. Vamos eliminar a linha redundante:
Operação:
  • L_{3}\leftarrow L_{3}+L_{2}.
Aplicando:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & -1 & 17\\[4pt] 0 & 0 & 3 & -9 & 21\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Isso mostra que o sistema tem apenas duas linhas independentes; a terceira é combinação linear das anteriores.]

Passo 6

Para chegar à forma escalonada reduzida precisamos pivôs iguais a 1. A segunda linha tem um 3 na coluna da variável x_{3}; vamos normalizá-la dividindo por 3:
Operação:
  • L_{2}\leftarrow \dfrac{1}{3}L_{2}.
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & -1 & 17\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -3 & 7\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Aqui a linha 2 corresponde agora à equação x_{3}-3x_{4}=7 (pois a coluna 3 passou a ser 1).]

Passo 7

Forma escalonada reduzida exige zeros em toda a coluna do pivô da linha 2 (coluna de x_{3}), inclusive acima do pivô. Temos um 2 em (1,3). Vamos eliminar esse 2 usando a linha 2:
Operação:
  • L_{1}\leftarrow L_{1}-2L_{2}.
Cálculo do novo L_{1}:
  • Coluna 1: 1-2\cdot0=1.
  • Coluna 2: 2-2\cdot0=2.
  • Coluna 3: 2-2\cdot1=0.
  • Coluna 4: -1-2(-3)=-1+6=5.
  • Termo independente: 17-2\cdot7=17-14=3.
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & 5 & 3\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -3 & 7\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 8

Agora verifiquemos as condições de RREF:
  • Cada linha não nula tem um pivô igual a 1 (linha 1 pivô em coluna 1, linha 2 pivô em coluna 3).
  • Cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna (coluna 1 tem apenas o 1 na linha 1; coluna 3 tem apenas o 1 na linha 2).
  • Cada pivô está à direita do pivô da linha acima (coluna 3 está à direita da coluna 1).
Portanto a matriz obtida no Passo 7 já está em forma escalonada reduzida (RREF).
Interpretação das colunas:
  • Colunas de pivô: \,x_{1} (coluna 1) e \,x_{3} (coluna 3) são variáveis básicas.
  • Colunas sem pivô: \,x_{2} e \,x_{4} são variáveis livres (podem ser parâmetros).

Passo 9

Escrevendo as equações correspondentes à RREF (pegando os dados da matriz do Passo 7):
  • Da linha 1: x_{1}+2x_{2}+5x_{4}=3.
  • Da linha 2: x_{3}-3x_{4}=7.
Para descrever a solução parametricamente, atribuimos parâmetros às variáveis livres. Seja s e t parâmetros reais:
  • x_{2}=s.
  • x_{4}=t.
Então:
x_{3}=7+3t, \qquad x_{1}=3-2s-5t.
Expressando a solução em forma vetorial (opcional, mas útil):
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]7\\[4pt]0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}.]

Resposta

\text{Matriz ampliada:}\quad \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & -1 & 17\\[4pt] -1 & -2 & 1 & -8 & 4\\[4pt] 2 & 4 & 1 & 7 & 13 \end{array}\right]
\text{Forma escalonada reduzida (RREF):}\quad \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & 5 & 3\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -3 & 7\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
\text{Solução geral:}\quad \begin{cases} x_{1}=3-2s-5t,\\[4pt] x_{2}=s,\\[4pt] x_{3}=7+3t,\\[4pt] x_{4}=t, \end{cases}\qquad s,t\in\mathbb{R}çã]

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