Para cada sistema linear abaixo, escreva a matriz ampliada associada e, por meio de operações elementares nas linhas, determine sua forma escalonada reduzida. \left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=17 \\\\ -x_{1}-2 x_{2}+x_{3}-8 x_{4}=4 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}+7 x_{4}=13\end{array}\right.
Usar operações elementares nas linhas para obter a forma escalonada reduzida (RREF) dessa matriz.
Informações relevantes dadas:
As incógnitas são x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
Cada equação fornece uma linha da matriz de coeficientes e o termo independente (coluna ampliada).]
Passo 2
Primeiro escrevemos a matriz ampliada (coluna dos termos independentes junto com a matriz de coeficientes). Peguei os coeficientes das três equações do enunciado:
Aqui cada linha corresponde, respectivamente, às equações 1, 2 e 3; as colunas (antes da barra) correspondem às incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, e a coluna à direita da barra são os termos independentes.]
Passo 3
Explicando as operações elementares que usarei (aula rápida e prática):
Trocar duas linhas: troca a ordem das equações, útil às vezes.
Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: escala uma equação por um número.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha: elimina coeficientes e é a operação-chave para escalonar.
Objetivo do escalonamento: obter uma forma em que haja pivôs (uns à esquerda) e zeros abaixo (e, para a forma escalonada reduzida, zeros também acima) desses pivôs. Cada pivô corresponde a uma variável básica; colunas sem pivô serão variáveis livres.
Passo 4
Vamos começar a eliminar abaixo do primeiro pivô. O pivô inicial é 1 em posição (1,1) (primeira linha, primeira coluna). Vou usar a primeira linha para zerar as entradas nas linhas 2 e 3 na coluna 1.
Operações:
L_{2}\leftarrow L_{2}+L_{1} (para eliminar o -1 em (2,1)).
L_{3}\leftarrow L_{3}-2L_{1} (para eliminar o 2 em (3,1)).
Aplicando essas operações à matriz do Passo 2 obtemos:
Para L_{2}+L_{1}: (-1)+1=0,\;(-2)+2=0,\;1+2=3,\;-8+(-1)=-9,\;4+17=21.
Para L_{3}-2L_{1}: 2-2\cdot1=0,\;4-2\cdot2=0,\;1-2\cdot2=-3,\;7-2(-1)=7+2=9,\;13-2\cdot17=13-34=-21.]
Passo 5
Agora observe as linhas 2 e 3: a linha 3 é exatamente -1 vezes a linha 2. Isso indica que uma delas será linha nula após somá-las. Vamos eliminar a linha redundante:
Isso mostra que o sistema tem apenas duas linhas independentes; a terceira é combinação linear das anteriores.]
Passo 6
Para chegar à forma escalonada reduzida precisamos pivôs iguais a 1. A segunda linha tem um 3 na coluna da variável x_{3}; vamos normalizá-la dividindo por 3:
Aqui a linha 2 corresponde agora à equação x_{3}-3x_{4}=7 (pois a coluna 3 passou a ser 1).]
Passo 7
Forma escalonada reduzida exige zeros em toda a coluna do pivô da linha 2 (coluna de x_{3}), inclusive acima do pivô. Temos um 2 em (1,3). Vamos eliminar esse 2 usando a linha 2: