Para cada sistema linear abaixo, escreva a matriz ampliada associada e, por meio de operações elementares nas linhas, determine sua forma escalonada reduzida.
\left\{\begin{array}{l}-3 x_{2}-6 x_{3}+4 x_{4}=9 \\\\ -x_{1}-2 x_{2}-x_{3}+3 x_{4}=1 \\\\ -2 x_{1}-3 x_{2}+3 x_{4}=-1 \\\ x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}-9 x_{4}=-7\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} -3x_{2}-6x_{3}+4x_{4}=9\\[4pt] -x_{1}-2x_{2}-x_{3}+3x_{4}=1\\[4pt] -2x_{1}-3x_{2}+3x_{4}=-1\\[4pt] x_{1}+4x_{2}+5x_{3}-9x_{4}=-7 \end{array}\right.
  • As incógnitas são x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. escrever a matriz ampliada associada ao sistema;
    2. por meio de operações elementares nas linhas, determinar a forma escalonada reduzida (RREF) dessa matriz.
Anotei também que na primeira equação não aparece x_{1}, então o coeficiente de x_{1} é 0 nessa linha. Não começo a resolver aqui — só organizei o que é pedido e os dados.]

Passo 2

Construir a matriz ampliada (explicando o que é e como montar).
  • Definição rápida (didática): a matriz ampliada de um sistema substitui cada equação pela linha dos seus coeficientes e coloca, após uma barra vertical, o termo independente. Assim a coluna dos coeficientes corresponde às incógnitas na ordem x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e a última coluna é o lado direito das igualdades.
  • Montando diretamente cada linha a partir das equações (colocando coeficiente 0 quando a variável não aparece), obtemos a matriz ampliada inicial
\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & -3 & -6 & 4 & 9\\[4pt] -1 & -2 & -1 & 3 & 1\\[4pt] -2 & -3 & 0 & 3 & -1\\[4pt] 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \end{array}\right].
Essa é a matriz ampliada que o enunciado pedia.]

Passo 3

Breve explicação sobre operações elementares e o que é forma escalonada reduzida (RREF).
  • Operações elementares permitidas (não mudam o conjunto de soluções):
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow kR_i onde k\neq0;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + kR_j.
  • Objetivo do método (Gauss-Jordan): usar essas operações para chegar à forma escalonada reduzida (RREF), que satisfaz:
    • cada linha não nula tem um primeiro elemento não nulo igual a 1 (chamado pivô);
    • cada pivô é o único elemento não nulo na sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivô);
    • cada pivô aparece mais à direita do que o pivô da linha anterior;
    • linhas totalmente nulas ficam em baixo.
  • A RREF é única para uma matriz dada e facilita ler diretamente as relações entre variáveis e identificar variáveis livres.
Agora vamos aplicar operações passo a passo, explicando cada escolha.

Passo 4

Primeiro passo de eliminação: escolher um bom pivô para a primeira coluna.
  • Observação prática: a quarta linha tem coeficiente 1 em x_{1}, o que é ótimo para começar (pivô já igual a 1). Então trocamos a primeira linha com a quarta.
  • Operação: R_{1}\leftrightarrow R_{4}.
  • Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 4 & 5 & -9 & -7\\[4pt] -1 & -2 & -1 & 3 & 1\\[4pt] -2 & -3 & 0 & 3 & -1\\[4pt] 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \end{array}\right].]

Passo 5

Zerar a coluna x_{1} nas linhas abaixo do pivô R_{1}.
  • Queremos que as linhas 2 e 3 tenham coeficiente 0 em x_{1}. Fazemos:
    • Para R_{2}: R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1} (porque -1+1=0).
    • Para R_{3}: R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{1} (porque -2+2\cdot1=0).
    • R_{4} já tem 0 na primeira coluna, então permanece.
  • Aplicando:
    • R_{2}+R_{1} [0,\;2,\;4,\;-6\;|\;-6].
    • R_{3}+2R_{1} [0,\;5,\;10,\;-15\;|\;-15].
  • Matriz atual:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 4 & 5 & -9 & -7\\[4pt] 0 & 2 & 4 & -6 & -6\\[4pt] 0 & 5 & 10 & -15 & -15\\[4pt] 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \end{array}\right].]

Passo 6

Escolher e normalizar pivô na segunda coluna.
  • A segunda linha tem 2 na coluna x_{2}. Vamos transformar esse 2 em 1 para pivotar: R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{2}.
  • Após multiplicar por 1/2:
R_{2}=[0,\;1,\;2,\;-3\;|\;-3].
  • Matriz:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 4 & 5 & -9 & -7\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -3 & -3\\[4pt] 0 & 5 & 10 & -15 & -15\\[4pt] 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \end{array}\right].]

Passo 7

Zerar os outros elementos da coluna x_{2} (acima e abaixo do pivô).
  • Usamos R_{2} para zerar as entradas nas linhas 1,3,4:
    • R_{1}\leftarrow R_{1}-4R_{2} (pois 4-4\cdot1=0).
    • R_{3}\leftarrow R_{3}-5R_{2} (pois 5-5\cdot1=0).
    • R_{4}\leftarrow R_{4}+3R_{2} (pois -3+3\cdot1=0).
  • Calculemos cada uma:
    • R_{1}-4R_{2}: [1,\;4,\;5,\;-9\;|\;-7] - 4[0,\;1,\;2,\;-3\;|\;-3] = [1,\;0,\;5-8,\;-9+12\;|\;-7+12] = [1,\;0,\;-3,\;3\;|\;5].
    • R_{3}-5R_{2}: [0,\;5,\;10,\;-15\;|\;-15] -5[0,\;1,\;2,\;-3\;|\;-3] = [0,0,0,0|0] (linha nula).
    • R_{4}+3R_{2}: [0,-3,-6,4|9]+3[0,1,2,-3|-3]=[0,0,0,-5|0].
  • Matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -3 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -3 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \end{array}\right].]

Passo 8

Pivô na coluna x_{4} e redução final (Gauss-Jordan).
  • Observação: a linha 4 tem coeficiente -5 na coluna x_{4}. Vamos movê-la para cima das linhas nulas (já está em posição adequada para pivotar como terceira linha não-nula). Trocar R_{3} com R_{4} para empurrar a linha nula para baixo:
    • R_{3}\leftrightarrow R_{4}.
  • Matriz após a troca:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -3 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -3 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -5 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
  • Agora normalizamos o pivô da linha 3: R_{3}\leftarrow -\tfrac{1}{5}R_{3} (dividir por -5 1 na coluna x_{4}):
    • R_{3}=[0,0,0,1|0].
  • Em seguida zeramos a coluna x_{4} nas linhas 1 e 2 usando R_{3}:
    • R_{1}\leftarrow R_{1}-3R_{3} (porque 3-3\cdot1=0 na coluna x_{4}).
    • R_{2}\leftarrow R_{2}+3R_{3} (porque -3+3\cdot1=0).
  • Depois dessas operações obtemos:
    • R_{1}=[1,0,-3,0|5].
    • R_{2}=[0,1,2,0|-3].
    • R_{3}=[0,0,0,1|0].
    • R_{4}=[0,0,0,0|0].
  • A matriz final é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -3 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 9

Interpretando o resultado e escrevendo a solução geral (para aprender a usar a RREF na prova).
  • A RREF encontrada mostra pivôs nas colunas 1,2,4. A coluna 3 (correspondente a x_{3}) não tem pivô, portanto x_{3} é variável livre. Chamemos x_{3}=t, com t\in\mathbb{R}.
  • As três primeiras linhas traduzem as equações:
    • R_{1}:\; x_{1}-3x_{3}=5 portanto x_{1}=5+3t.
    • R_{2}:\; x_{2}+2x_{3}=-3 portanto x_{2}=-3-2t.
    • R_{3}:\; x_{4}=0.
  • Resumo da solução em forma paramétrica: x_{1}=5+3t,\qquad x_{2}=-3-2t,\qquad x_{3}=t,\qquad x_{4}=0,\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Isso mostra que o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções, uma família linear com um parâmetro).

Resposta

\text{Matriz ampliada inicial:}\qquad \left[\begin{array}{cccc|c} 0 & -3 & -6 & 4 & 9\\[4pt] -1 & -2 & -1 & 3 & 1\\[4pt] -2 & -3 & 0 & 3 & -1\\[4pt] 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \end{array}\right]
\text{Forma escalonada reduzida (RREF):}\qquad \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -3 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

Exercícios relacionados