Para cada sistema linear abaixo, escreva a matriz ampliada associada e, por meio de operações elementares nas linhas, determine sua forma escalonada reduzida. \left\{\begin{array}{l}-3 x_{2}-6 x_{3}+4 x_{4}=9 \\\\ -x_{1}-2 x_{2}-x_{3}+3 x_{4}=1 \\\\ -2 x_{1}-3 x_{2}+3 x_{4}=-1 \\\ x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}-9 x_{4}=-7\end{array}\right.
por meio de operações elementares nas linhas, determinar a forma escalonada reduzida (RREF) dessa matriz.
Anotei também que na primeira equação não aparece x_{1}, então o coeficiente de x_{1} é 0 nessa linha. Não começo a resolver aqui — só organizei o que é pedido e os dados.]
Passo 2
Construir a matriz ampliada (explicando o que é e como montar).
Definição rápida (didática): a matriz ampliada de um sistema substitui cada equação pela linha dos seus coeficientes e coloca, após uma barra vertical, o termo independente. Assim a coluna dos coeficientes corresponde às incógnitas na ordem x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e a última coluna é o lado direito das igualdades.
Montando diretamente cada linha a partir das equações (colocando coeficiente 0 quando a variável não aparece), obtemos a matriz ampliada inicial
Breve explicação sobre operações elementares e o que é forma escalonada reduzida (RREF).
Operações elementares permitidas (não mudam o conjunto de soluções):
trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow kR_i onde k\neq0;
somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + kR_j.
Objetivo do método (Gauss-Jordan): usar essas operações para chegar à forma escalonada reduzida (RREF), que satisfaz:
cada linha não nula tem um primeiro elemento não nulo igual a 1 (chamado pivô);
cada pivô é o único elemento não nulo na sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivô);
cada pivô aparece mais à direita do que o pivô da linha anterior;
linhas totalmente nulas ficam em baixo.
A RREF é única para uma matriz dada e facilita ler diretamente as relações entre variáveis e identificar variáveis livres.
Agora vamos aplicar operações passo a passo, explicando cada escolha.
Passo 4
Primeiro passo de eliminação: escolher um bom pivô para a primeira coluna.
Observação prática: a quarta linha tem coeficiente 1 em x_{1}, o que é ótimo para começar (pivô já igual a 1). Então trocamos a primeira linha com a quarta.
Pivô na coluna x_{4} e redução final (Gauss-Jordan).
Observação: a linha 4 tem coeficiente -5 na coluna x_{4}. Vamos movê-la para cima das linhas nulas (já está em posição adequada para pivotar como terceira linha não-nula). Trocar R_{3} com R_{4} para empurrar a linha nula para baixo:
Interpretando o resultado e escrevendo a solução geral (para aprender a usar a RREF na prova).
A RREF encontrada mostra pivôs nas colunas 1,2,4. A coluna 3 (correspondente a x_{3}) não tem pivô, portanto x_{3} é variável livre. Chamemos x_{3}=t, com t\in\mathbb{R}.
As três primeiras linhas traduzem as equações:
R_{1}:\; x_{1}-3x_{3}=5 portanto x_{1}=5+3t.
R_{2}:\; x_{2}+2x_{3}=-3 portanto x_{2}=-3-2t.
R_{3}:\; x_{4}=0.
Resumo da solução em forma paramétrica:x_{1}=5+3t,\qquad x_{2}=-3-2t,\qquad x_{3}=t,\qquad x_{4}=0,\qquad t\in\mathbb{R}.
Isso mostra que o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções, uma família linear com um parâmetro).