Para cada sistema linear abaixo, escreva a matriz ampliada associada e, por meio de operações elementares nas linhas, determine sua forma escalonada reduzida.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}-4 x_{2}+x_{3}=0 \\\\ 3 x_{2}-6 x_{3}=-3 \\\\ -3 x_{1}+14 x_{2}-6 x_{3}=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x_{1}-4x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] 3x_{2}-6x_{3}=-3,\\[4pt] -3x_{1}+14x_{2}-6x_{3}=2. \end{cases}
O que o problema pede:
  • Escrever a matriz ampliada associada a esse sistema.
  • Por meio de operações elementares nas linhas, levar essa matriz à forma escalonada reduzida (RREF).
Informações fornecidas que usaremos: os coeficientes e os termos independentes estão explicitados nas três equações acima (peguei esses números do enunciado).]

Passo 2

Primeiro, o que é matriz ampliada e quais operações são permitidas (aula rápida):
  • A matriz ampliada de um sistema é a matriz dos coeficientes com uma coluna extra contendo os termos independentes. Ela organiza o sistema de forma matricial.
  • Operações elementares nas linhas que preservam o conjunto solução são:
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \alpha R_i com \alpha\neq 0;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + \beta R_j.
  • A forma escalonada reduzida (RREF) tem pivôs iguais a 1, cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna, e cada pivô aparece à direita do pivô da linha anterior.
Agora escrevemos a matriz ampliada do sistema (peguei todos os coeficientes e termos independentes do enunciado):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -4 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -6 & -3\\[4pt] -3 & 14 & -6 & 2 \end{array}\right]]

Passo 3

Vamos começar a eliminar abaixo do primeiro pivô (que já é 1 na posição (1,1)). Elimino a entrada -3 em R_3 somando 3 vezes R_1 a R_3:
R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1.
Cálculo de R_3:
-3 + 3\cdot 1 = 0,\qquad 14 + 3\cdot(-4)=14-12=2,\qquad -6 + 3\cdot1=-6+3=-3,\qquad 2 + 3\cdot0=2.
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -4 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -6 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -3 & 2 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora trabalhamos na segunda coluna. Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 dividindo R_2 por 3:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_2.
Isso produz
R_2 = [0\; 1\; -2\; -1].
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -4 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 2 & -3 & 2 \end{array}\right]]

Passo 5

Elimino o 2 em R_3 (coluna 2) usando R_2:
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
Cálculo:
2 - 2\cdot 1 = 0,\qquad -3 - 2\cdot(-2) = -3 +4 = 1,\qquad 2 - 2\cdot(-1)=2+2=4.
Matriz atual:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -4 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora temos um pivô 1 já na terceira linha, terceira coluna. Vamos eliminar os elementos acima desse pivô para obter a forma escalonada reduzida.
a) Elimino o -2 em R_2 (coluna 3) somando 2 vezes R_3 a R_2:
R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3.
Cálculo:
-2 + 2\cdot 1 = 0,\qquad -1 + 2\cdot 4 = -1 +8 = 7.
Linha R_2 vira [0\;1\;0\;7].
Matriz intermediate:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -4 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]
b) Elimino o 1 em R_1 (coluna 3) subtraindo R_3 de R_1:
R_1 \leftarrow R_1 - R_3.
Cálculo:
1 - 1 = 0,\qquad 0 - 4 = -4\quad\text{(na coluna 2 permanece -4)},\qquad 0 - 4 = -4\quad\text{(termo independente)}.
Após essa operação R_1=[1\; -4\; 0\; -4].
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -4 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]
c) Finalmente, elimino o -4 em R_1 (coluna 2) somando 4 vezes R_2 a R_1:
R_1 \leftarrow R_1 + 4R_2.
Cálculo:
-4 + 4\cdot 1 = 0,\qquad -4 + 4\cdot 7 = -4 +28 = 24.
Assim R_1=[1\;0\;0\;24].
Matriz final em forma escalonada reduzida:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 24\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]]

Passo 7

Interpretação final (rápida): a matriz em RREF mostra que o sistema tem solução única, com
x_{1}=24,\qquad x_{2}=7,\qquad x_{3}=4.

Resposta

Matriz ampliada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -4 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -6 & -3\\[4pt] -3 & 14 & -6 & 2 \end{array}\right]
Forma escalonada reduzida (RREF):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 24\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]
Solução:
x_{1}=24,\qquad x_{2}=7,\qquad x_{3}=4]

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