Para cada sistema linear abaixo, escreva a matriz ampliada associada e, por meio de operações elementares nas linhas, determine sua forma escalonada reduzida.
\left\{\begin{array}{l}x_{2}-2 x_{3}=-3 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=1 \\\\ 6 x_{1}+7 x_{2}+x_{3}=11\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O sistema linear fornecido é
\begin{cases} x_{2}-2x_{3}=-3,\\[4pt] 2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=1,\\[4pt] 6x_{1}+7x_{2}+x_{3}=11. \end{cases}
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Escrever a matriz ampliada associada ao sistema.
    2. Usar operações elementares nas linhas para determinar a sua forma escalonada reduzida (RREF).]

Passo 2

Escrevendo a matriz ampliada diretamente a partir das equações: cada linha corresponde aos coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} e, à direita, a coluna dos termos independentes.
A primeira equação tem coeficientes 0,1,-2 e termo -3. Assim a matriz ampliada é
\begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & \vrule & -3\\[4pt] 2 & 3 & -1 & \vrule & 1\\[4pt] 6 & 7 & 1 & \vrule & 11 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Breve lembrete didático sobre operações e objetivo:
  • Operações elementares nas linhas permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra.
  • Forma escalonada reduzida (RREF) tem estas propriedades principais:
    1. Toda linha nula (se houver) fica abaixo das linhas não nulas.
    2. O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula (pivot) é 1.
    3. Cada pivot é o único elemento não nulo na sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivot).
    4. Os pivots deslocam-se estritamente para a direita ao descer as linhas.
      Nosso objetivo: aplicar operações até obter a RREF ou até descobrir inconsistência.

Passo 4

Começo as operações. Para ter um pivot na coluna 1, troco a linha 1 com a linha 2 (porque a linha 1 tem coeficiente 0 em x_1, enquanto a linha 2 tem 2).
Operação: R_1 \leftrightarrow R_2.
Matriz:
\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & \vrule & 1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & \vrule & -3\\[4pt] 6 & 7 & 1 & \vrule & 11 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora escalo a primeira linha para que o pivot em x_1 seja 1.
Operação: R_1 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_1.
Matriz:
\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & \vrule & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & -2 & \vrule & -3\\[4pt] 6 & 7 & 1 & \vrule & 11 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Elimino o elemento abaixo do pivot da coluna 1 (na linha 3) para obter zero nessa posição.
Operação: R_3 \leftarrow R_3 - 6R_1.
Cálculo: R_3 - 6R_1 = [6,7,1,11] - 6[1,\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}] = [0,\,7-9,\,1-(-3),\,11-3] = [0,-2,4,8].
Matriz resultante:
\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & \vrule & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & -2 & \vrule & -3\\[6pt] 0 & -2 & 4 & \vrule & 8 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora uso o pivot da coluna 2 (na linha 2, que já é 1) para zerar o elemento abaixo dele (linha 3, coluna 2) e também para zerar qualquer elemento acima dele na mesma coluna.
Primeiro elimino o elemento em R_3 (que é -2):
Operação: R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2.
Cálculo: R_3 + 2R_2 = [0,-2,4,8] + 2[0,1,-2,-3] = [0,0,0,2].
Matriz:
\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & \vrule & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & -2 & \vrule & -3\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \vrule & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Em seguida, elimino o elemento acima do pivot da coluna 2 (na linha 1, coluna 2 é \tfrac{3}{2}) para que a coluna 2 tenha como única entrada não nula o próprio pivot em R_2.
Operação: R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{3}{2}R_2.
Cálculo detalhado:
  • Terceira coluna de R_1: -\tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2}\cdot(-2) = -\tfrac{1}{2} + 3 = \tfrac{5}{2}.
  • Termo independente de R_1: \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2}\cdot(-3) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{9}{2} = 5.
Matriz:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac{5}{2} & \vrule & 5\\[6pt] 0 & 1 & -2 & \vrule & -3\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \vrule & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Agora examinamos a última linha: ela é [0\\\ 0\\\ 0\\ \vrule\\\ 2]. Isso corresponde, em linguagem de equações, a
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=2,
ou seja 0=2, o que é uma contradição.
Quando a RREF apresenta uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\ \vrule\\ c] com c\neq 0, o sistema é incompatível (não tem solução).
A matriz já está na forma escalonada reduzida no que importa: os dois pivôs são 1 nas colunas 1 e 2 e são os únicos 1s em suas colunas; a terceira linha revela a inconsistência. (Não há como eliminar a linha contraditória sem perder a informação de que o sistema é impossível.)

Resposta

\text{Matriz ampliada}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & \vrule & -3\\[4pt] 2 & 3 & -1 & \vrule & 1\\[4pt] 6 & 7 & 1 & \vrule & 11 \end{pmatrix}
\text{Forma escalonada reduzida (RREF)}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac{5}{2} & \vrule & 5\\[6pt] 0 & 1 & -2 & \vrule & -3\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \vrule & 2 \end{pmatrix} \quad\text{(logo, o sistema é incompatível: não há solução).}]

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