Para cada sistema linear abaixo, escreva a matriz ampliada associada e, por meio de operações elementares nas linhas, determine sua forma escalonada reduzida. \left\{\begin{array}{l}x_{2}-2 x_{3}=-3 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=1 \\\\ 6 x_{1}+7 x_{2}+x_{3}=11\end{array}\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Usar operações elementares nas linhas para determinar a sua forma escalonada reduzida (RREF).]
Passo 2
Escrevendo a matriz ampliada diretamente a partir das equações: cada linha corresponde aos coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} e, à direita, a coluna dos termos independentes.
A primeira equação tem coeficientes 0,1,-2 e termo -3. Assim a matriz ampliada é
Breve lembrete didático sobre operações e objetivo:
Operações elementares nas linhas permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra.
Forma escalonada reduzida (RREF) tem estas propriedades principais:
Toda linha nula (se houver) fica abaixo das linhas não nulas.
O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula (pivot) é 1.
Cada pivot é o único elemento não nulo na sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivot).
Os pivots deslocam-se estritamente para a direita ao descer as linhas.
Nosso objetivo: aplicar operações até obter a RREF ou até descobrir inconsistência.
Passo 4
Começo as operações. Para ter um pivot na coluna 1, troco a linha 1 com a linha 2 (porque a linha 1 tem coeficiente 0 em x_1, enquanto a linha 2 tem 2).
Agora uso o pivot da coluna 2 (na linha 2, que já é 1) para zerar o elemento abaixo dele (linha 3, coluna 2) e também para zerar qualquer elemento acima dele na mesma coluna.
Em seguida, elimino o elemento acima do pivot da coluna 2 (na linha 1, coluna 2 é \tfrac{3}{2}) para que a coluna 2 tenha como única entrada não nula o próprio pivot em R_2.
Agora examinamos a última linha: ela é [0\\\ 0\\\ 0\\ \vrule\\\ 2]. Isso corresponde, em linguagem de equações, a
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=2,
ou seja 0=2, o que é uma contradição.
Quando a RREF apresenta uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\ \vrule\\ c] com c\neq 0, o sistema é incompatível (não tem solução).
A matriz já está na forma escalonada reduzida no que importa: os dois pivôs são 1 nas colunas 1 e 2 e são os únicos 1s em suas colunas; a terceira linha revela a inconsistência. (Não há como eliminar a linha contraditória sem perder a informação de que o sistema é impossível.)