Informações relevantes que temos (peguei diretamente do enunciado):
É uma matriz quadrada de ordem 4.
Queremos \det(A).
Passo 2
Breve aula sobre estratégia que vou usar (sem pular passos): vou aplicar operações elementares por linhas para transformar A numa matriz triangular superior. Lembrete importante sobre efeito das operações no determinante:
Trocar duas linhas: multiplica o determinante por -1.
Somar múltiplo de uma linha a outra (substituir L_i por L_i + kL_j): não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por constante c: multiplica o determinante por c (não vou usar essa operação, evito porque muda valor numérico).
Depois de triangularizar sem multiplicar linhas por constantes (apenas somas e trocas), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelo sinal das trocas feitas.
Passo 3
Começo a eliminação usando L_1 como pivô para anular entradas da primeira coluna abaixo de a_{11}=1. Faço as seguintes operações (cada uma é do tipo “somar múltiplo de uma linha em outra”, portanto NÃO ALTERA o determinante):
Agora, olhando a terceira coluna, o elemento na posição (3,3) é 0 enquanto em (4,3) está -23. Para obter um pivô não nulo na linha 3, faço a troca de linhas
L_3 \leftrightarrow L_4.
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1. Após a troca, a matriz fica
Até aqui usei apenas operações que preservam o determinante, exceto a troca que introduz um fator -1. Vou armazenar mentalmente esse fator para o resultado final.
Passo 6
Agora a matriz está em forma triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares superiores, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal é 1,\\\ 1,\\\ -23,\\\ 4. O produto é