Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes:
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -3 & -2 \\\\ -2 & -3 & 2 & -5 \\\\ 1 & 2 & -3 & 2 \\\\ -1 & -6 & -4 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz A dada. A matriz é
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & -2 \\\\ -2 & -3 & 2 & -5 \\\\ 1 & 2 & -3 & 2 \\\\ -1 & -6 & -4 & 3 \end{bmatrix}.
Informações relevantes que temos (peguei diretamente do enunciado):
  • É uma matriz quadrada de ordem 4.
  • Queremos \det(A).

Passo 2

Breve aula sobre estratégia que vou usar (sem pular passos): vou aplicar operações elementares por linhas para transformar A numa matriz triangular superior. Lembrete importante sobre efeito das operações no determinante:
  • Trocar duas linhas: multiplica o determinante por -1.
  • Somar múltiplo de uma linha a outra (substituir L_i por L_i + kL_j): não altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por constante c: multiplica o determinante por c (não vou usar essa operação, evito porque muda valor numérico).
    Depois de triangularizar sem multiplicar linhas por constantes (apenas somas e trocas), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelo sinal das trocas feitas.

Passo 3

Começo a eliminação usando L_1 como pivô para anular entradas da primeira coluna abaixo de a_{11}=1. Faço as seguintes operações (cada uma é do tipo “somar múltiplo de uma linha em outra”, portanto NÃO ALTERA o determinante):
L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1, \qquad L_3 \leftarrow L_3 - L_1, \qquad L_4 \leftarrow L_4 + L_1.
Calculando cada nova linha:
  • L_2 + 2L_1 = [-2+2\cdot1,\\\ -3+2\cdot2,\\\ 2+2\cdot(-3),\\\ -5+2\cdot(-2)] = [0,1,-4,-9].
  • L_3 - L_1 = [1-1,\\\ 2-2,\\\ -3-(-3),\\\ 2-(-2)] = [0,0,0,4].
  • L_4 + L_1 = [-1+1,\\\ -6+2,\\\ -4+(-3),\\\ 3+(-2)] = [0,-4,-7,1].
A matriz resultante é
\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & -2 \\\\ 0 & 1 & -4 & -9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4 \\\\ 0 & -4 & -7 & 1 \end{bmatrix}.

Passo 4

Agora uso o pivô a_{22}=1 (linha 2, coluna 2) para zerar a entrada -4 na linha 4, coluna 2. Faço
L_4 \leftarrow L_4 + 4L_2,
operação que também NÃO ALTERA o determinante. Calculo:
L_4 + 4L_2 = [0+4\cdot0,\\\ -4+4\cdot1,\\\ -7+4\cdot(-4),\\\ 1+4\cdot(-9)] = [0,0,-23,-35].
A matriz fica
\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & -2 \\\\ 0 & 1 & -4 & -9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4 \\\\ 0 & 0 & -23 & -35 \end{bmatrix}.

Passo 5

Agora, olhando a terceira coluna, o elemento na posição (3,3) é 0 enquanto em (4,3) está -23. Para obter um pivô não nulo na linha 3, faço a troca de linhas
L_3 \leftrightarrow L_4.
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1. Após a troca, a matriz fica
\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & -2 \\\\ 0 & 1 & -4 & -9 \\\\ 0 & 0 & -23 & -35 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}.
Até aqui usei apenas operações que preservam o determinante, exceto a troca que introduz um fator -1. Vou armazenar mentalmente esse fator para o resultado final.

Passo 6

Agora a matriz está em forma triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares superiores, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal é 1,\\\ 1,\\\ -23,\\\ 4. O produto é
1\cdot 1\cdot(-23)\cdot 4 = -92.

Passo 7

Lembrando que fiz uma troca de linhas em

Passo 8

\det(A) = -1 \cdot (-92) = 92.

Resposta

\det(A)=92

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