Para cada sistema linear abaixo, explique se é possível (e como) aplicar o método Jacobi para aproximar a solução do sistema de maneira a ter garantia de convergência.
\left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & -2 \\\\ 2 & 3 & 0 \\\\ 2 & -2 & 6\end{array}\right) \mathrm{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\\\ 5 \\\\ 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
\begin{pmatrix} 4 & 1 & -2\\\\ 2 & 3 & 0\\\\ 2 & -2 & 6 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 3\\\ 5\\\ 1 \end{pmatrix}
e pede para verificar se podemos usar o método de Jacobi com garantia de convergência. O conteúdo aqui é métodos iterativos para resolver sistemas lineares e a condição clássica de convergência do Jacobi é que a matriz de coeficientes seja estritamente diagonal dominante por linhas (ou que a matriz de iteração tenha norma/espectral radius menor que 1).

Passo 2

Decompomos a matriz A em parte diagonal \,D, parte estritamente inferior L e parte estritamente superior U:
D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix},\quad L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ -2 & 0 & 0\\\\ -2 & 2 & 0 \end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
A iteração de Jacobi é dada por
x^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(-\,(L+U)\,x^{(k)} + b\bigr)
ou equivalentemente
x^{(k+1)} = -\,D^{-1}(L+U)\,x^{(k)} + D^{-1}b.

Passo 3

Para garantir convergência, basta mostrar que A é estritamente diagonal dominante por linhas, ou seja, para cada linha i vale
|a_{ii}| > \sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Verificando linha a linha:
linha 1: \;|4| > |1| + |-2| = 3.
linha 2: \;|3| > |2| + |0| = 2.
linha 3: \;|6| > |2| + |-2| = 4.
Como em todas as linhas a desigualdade estrita vale, temos pela teoria que o raio espectral de D^{-1}(L+U) é menor que 1, garantindo convergência do método de Jacobi para qualquer chute inicial.

Resposta

É possível aplicar o método de Jacobi e ele converge de modo garantido, pois a matriz de coeficientes é estritamente diagonal dominante por linhas.

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