Para cada sistema linear abaixo, explique se é possível (e como) aplicar o método Jacobi para aproximar a solução do sistema de maneira a ter garantia de convergência. \left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & -2 \\\\ 2 & 3 & 0 \\\\ 2 & -2 & 6\end{array}\right) \mathrm{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\\\ 5 \\\\ 1\end{array}\right)
e pede para verificar se podemos usar o método de Jacobi com garantia de convergência. O conteúdo aqui é métodos iterativos para resolver sistemas lineares e a condição clássica de convergência do Jacobi é que a matriz de coeficientes seja estritamente diagonal dominante por linhas (ou que a matriz de iteração tenha norma/espectral radius menor que 1).
Passo 2
Decompomos a matriz A em parte diagonal \,D, parte estritamente inferior L e parte estritamente superior U:
Para garantir convergência, basta mostrar que A é estritamente diagonal dominante por linhas, ou seja, para cada linha i vale
|a_{ii}| > \sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Verificando linha a linha:
linha 1: \;|4| > |1| + |-2| = 3.
linha 2: \;|3| > |2| + |0| = 2.
linha 3: \;|6| > |2| + |-2| = 4.
Como em todas as linhas a desigualdade estrita vale, temos pela teoria que o raio espectral de D^{-1}(L+U) é menor que 1, garantindo convergência do método de Jacobi para qualquer chute inicial.
Resposta
É possível aplicar o método de Jacobi e ele converge de modo garantido, pois a matriz de coeficientes é estritamente diagonal dominante por linhas.