Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a menor distância entre o ponto (1,3,0) e o plano 4 x+2 y-z=5.

Passo 1

Queremos encontrar a menor distância entre o ponto P_0=(1,3,0) e o plano
4x+2y-z=5.
Isso é um problema de otimização com restrição: minimizar a função distância ao quadrado
f(x,y,z)=(x-1)^2+(y-3)^2+z^2
sob a condição
g(x,y,z)=4x+2y-z-5=0.
Usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Calculamos os gradientes:
\displaystyle \nabla f=(2(x-1),\,2(y-3),\,2z), \qquad \displaystyle \nabla g=(4,\,2,\,-1).
O método diz que em um extremo com restrição existe \lambda tal que
\nabla f=\lambda\,\nabla g.
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2(x-1)=4\lambda,\\\\ 2(y-3)=2\lambda,\\\\ 2z=-\,\lambda,\\\\ 4x+2y-z=5. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações:
x-1=2\lambda \quad\Longrightarrow\quad x=1+2\lambda,
y-3=\lambda \quad\Longrightarrow\quad y=3+\lambda,
e da terceira:
z=-\frac{\lambda}{2}.

Passo 4

Substituímos x,y,z na equação do plano:
4(1+2\lambda)+2(3+\lambda)-\Bigl(-\frac{\lambda}{2}\Bigr)=5.
Isso dá
4+8\lambda+6+2\lambda+\frac{\lambda}{2}=5 \;\Longrightarrow\; 10+10\lambda+\frac{\lambda}{2}=5 \;\Longrightarrow\; 21\lambda=-10 \;\Longrightarrow\; \lambda=-\frac{10}{21}.

Passo 5

Com \lambda=-\tfrac{10}{21} encontramos o ponto Q mais próximo do plano:
x=1+2\Bigl(-\frac{10}{21}\Bigr)=\frac{1}{21},\quad y=3-\frac{10}{21}=\frac{53}{21},\quad z=-\frac{1}{2}\Bigl(-\frac{10}{21}\Bigr)=\frac{5}{21}.

Passo 6

A menor distância é a distância entre P_0 e Q. Calculamos
d^2=(x-1)^2+(y-3)^2+z^2 =\frac{400}{441}+\frac{100}{441}+\frac{25}{441} =\frac{525}{441} =\frac{25}{21},
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d=\sqrt{\frac{25}{21}} =\frac{5}{\sqrt{21}} =\frac{5\sqrt{21}}{21}.

Resposta

A menor distância entre (1,3,0) e o plano 4x+2y-z=5 é
\frac{5}{\sqrt{21}}.

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