Para cada sistema linear abaixo, explique se é possível (e como) aplicar o método Jacobi para aproximar a solução do sistema de maneira a ter garantia de convergência. \left(\begin{array}{ccc}2 & 5 & -2 \\\\ 6 & 3 & 0 \\\\ 3 & -2 & 6\end{array}\right) \mathrm{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right)
e pede para verificar se podemos aplicar o método de Jacobi de forma que haja garantia de convergência. O conteúdo principal é o critério de convergência de Jacobi, que costuma ser a dominância diagonal estrita de A (ou outra condição que garanta \rho(T_J)<1, onde T_J é a matriz de iteração de Jacobi).
Passo 2
Critério de dominância diagonal estrita: para cada linha i,
|a_{ii}| > \sum_{j\neq i} |a_{ij}|.
Se isso valer, então a matriz de iteração de Jacobi T_J satisfaz \rho(T_J)<1 e o método converge.
Passo 3
Verificando no sistema original:
Linha 1: |a_{11}|=2, soma dos outros: |5|+|-2|=7, não vale 2>7.
Linha 2: |a_{22}|=3, soma dos outros: |6|+|0|=6, não vale 3>6.
Linha 3: |a_{33}|=6, soma dos outros: |3|+|{-2}|=5, vale 6>5.
Só a linha 3 satisfaz. Logo, no sistema original não há dominância diagonal estrita completa.
Passo 4
Podemos tentar permutar as equações (linhas) para obter dominância. Uma permutação eficaz é trocar as linhas 1 e 2, ficando a ordem (2,1,3). Isso leva ao sistema