Para cada sistema linear abaixo, explique se é possível (e como) aplicar o método Jacobi para aproximar a solução do sistema de maneira a ter garantia de convergência.
\left(\begin{array}{ccc}2 & 5 & -2 \\\\ 6 & 3 & 0 \\\\ 3 & -2 & 6\end{array}\right) \mathrm{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear A\,x=b com
A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -2 \\\\ 6 & 3 & 0 \\\\ 3 & -2 & 6 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},
e pede para verificar se podemos aplicar o método de Jacobi de forma que haja garantia de convergência. O conteúdo principal é o critério de convergência de Jacobi, que costuma ser a dominância diagonal estrita de A (ou outra condição que garanta \rho(T_J)<1, onde T_J é a matriz de iteração de Jacobi).

Passo 2

Critério de dominância diagonal estrita: para cada linha i,
|a_{ii}| > \sum_{j\neq i} |a_{ij}|.
Se isso valer, então a matriz de iteração de Jacobi T_J satisfaz \rho(T_J)<1 e o método converge.

Passo 3

Verificando no sistema original:
  • Linha 1: |a_{11}|=2, soma dos outros: |5|+|-2|=7, não vale 2>7.
  • Linha 2: |a_{22}|=3, soma dos outros: |6|+|0|=6, não vale 3>6.
  • Linha 3: |a_{33}|=6, soma dos outros: |3|+|{-2}|=5, vale 6>5.
Só a linha 3 satisfaz. Logo, no sistema original não há dominância diagonal estrita completa.

Passo 4

Podemos tentar permutar as equações (linhas) para obter dominância. Uma permutação eficaz é trocar as linhas 1 e 2, ficando a ordem ( 2,1, 3). Isso leva ao sistema
\begin{pmatrix} 6 & 3 & 0 \\\\ 2 & 5 & -2 \\\\ 3 & -2 & 6 \end{pmatrix} \tilde x = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Verificando a dominância nesta ordem:
  • Linha 1: |6| > |3|+|0| = 3.
  • Linha 2: |5| > |2|+|{-2}| = 4.
  • Linha 3: |6| > |3|+|{-2}| = 5.
    Todas as linhas são estritamente dominantes, então garantimos \rho(T_J)<1.

Passo 6

Escrevendo o método de Jacobi para o sistema permutado:
x_1^{(k+1)} = \frac{2 - 3\,x_2^{(k)}}{6}, \qquad x_2^{(k+1)} = \frac{1 - 2\,x_1^{(k)} +2\,x_3^{(k)}}{5}, \qquad x_3^{(k+1)} = \frac{1 - 3\,x_1^{(k)} +2\,x_2^{(k)}}{6}.
Como a matriz é estritamente diagonal dominante, temos garantia de convergência do método de Jacobi para qualquer chute inicial \tilde x^{(0)}.

Resposta

Sim, basta permutar as linhas 1 e 2 para obter matriz estritamente diagonal dominante, e então aplicar Jacobi pelas fórmulas
x_1^{(k+1)} = \frac{2 - 3\,x_2^{(k)}}{6}, \quad x_2^{(k+1)} = \frac{1 - 2\,x_1^{(k)} +2\,x_3^{(k)}}{5}, \quad x_3^{(k+1)} = \frac{1 - 3\,x_1^{(k)} +2\,x_2^{(k)}}{6},
com convergência garantida.

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