Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a para quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
x+y+z=2, 2x+3y+2z=5, 2x+3y+(a^2+1)z=a+1
Queremos encontrar para quais valores de a o sistema não tem solução, tem solução única ou tem infinitas soluções. O conteúdo é análise de sistemas lineares dependentes de parâmetro, usando determinante da matriz de coeficientes e consistência das equações.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de coeficientes
A= 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 2 & 3 & a^2+1
e calcular det A. Pela regra de Sarrus ou cofactores,
det A =1cdotl(3(a^2+1)-2cdot3r) -1cdotl(2(a^2+1)-2cdot2r) +1cdot(2cdot3-3cdot2) =3a^2-3-2a^2+2+0 =a^2-1
Passo 3
Se det Aneq0 o sistema tem solução única. Portanto, para
a^2-1neq0 Long<=ftrightarrow aneq1,;aneq-1
há solução única.
Passo 4
Caso a^2-1=0, isto é a=pm1, temos det A=0 e precisamos checar consistência. Para a=pm1, as duas últimas linhas em A coincidem em coeficientes de x,y,z (ambas são (2,3,2)), mas as constantes são 5 e a+1, que valem 5 e 2 (se a=1) ou 5 e 0 (se a=-1). Como 5neq2 e 5neq0, as equações se contradizem, logo o sistema não tem solução para a=1 nem para a=-1.
Passo 5
Não ocorre nenhum valor de a que torne o sistema compatível indeterminado, pois sempre que det A=0 as equações ficam incompatíveis.
Resposta
Sem solução: a=1 e a=-1.
Solução única: aneq1 e aneq-1.
Infinitas soluções: nenhum valor de a.