(Licenciatura em Matemática - Controle de Estoque de Livros)
Uma livraria organiza seu estoque de livros nas categorias Matemática, Física e Literatura. O estoque é modelado por:
3 x+2 y+z & =100 2 x+3 y+2 z & =110 x+4 y+3 z & =120
Quantos livros há em cada categoria?

Passo 1

O enunciado dá três equações lineares em três incógnitas x,y,z, que representam o número de livros de Matemática, Física e Literatura, respectivamente:
3x + 2y + z = 100, 2x + 3y + 2z = 110, x + 4y + 3z = 120
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por eliminação e análise de consistência.

Passo 2

Vamos eliminar z usando as duas primeiras equações. Multiplicamos a primeira por 2 e subtraímos a segunda:
2cdot(3x+2y+z)&=2cdot100implies6x+4y+2z=200, (6x+4y+2z)-(2x+3y+2z)&=200-110implies4x+y=90
Logo
y=90-4x

Passo 3

Substituímos y=90-4x na primeira equação para achar z:
3x+2(90-4x)+z=100 ;Longrightarrow; 3x+180-8x+z=100 ;Longrightarrow; -5x+z=-80 ;Longrightarrow; z=5x-80

Passo 4

Verificamos a terceira equação com y=90-4x e z=5x-80:
x+4(90-4x)+3(5x-80) = x+360-16x+15x-240 =120,
que é uma identidade 120=120. Isso mostra que o sistema não impõe mais restrições: há infinitas soluções.

Passo 5

Para expor a família de soluções, tomamos
Se quisermos números inteiros e não-negativos (pois são quantidades de livros), exigimos
.

Resposta

Há infinitas soluções reais, dadas por
(x,y,z) = l(t,;90-4t,;5t-80r), tinR
Se quisermos quantidades inteiras não-negativas, t deve ser inteiro de 0 a 6.

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