Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.
\frac{d^{4} y(t)}{d t^{2}}+4 \frac{d y(t)}{d t}+24 y(t)=3 \frac{d x(t)}{d t}+2 x(t)
\frac{d^{4} y(t)}{d t^{2}}+4 \frac{d y(t)}{d t}+24 y(t)=3 \frac{d x(t)}{d t}+2 x(t)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a função de transferência do sistema descrito pela equação diferencial
Informações relevantes que temos:
- A equação relaciona a saída
e a entrada por derivadas de ordens diferentes (quarta e primeira). - Queremos a função de transferência, ou seja, a razão entre a transformada de Laplace da saída e da entrada sob condições iniciais nulas:
Passo 2
O que é a função de transferência e por que usamos a transformada de Laplace?
- A função de transferência
caracteriza um sistema linear e invariante no tempo (LTI) no domínio complexa . Ela é definida por
onde
e
, assumindo condições iniciais nulas (isso simplifica as contas e é o caso padrão ao pedir
).
- A transformada de Laplace transforma derivadas no tempo em polinômios em
, o que converte uma equação diferencial em uma equação algébrica — bem mais simples de manipular na prova. - Regra importante (derivada de ordem
):
Com condições iniciais nulas, isso vira simplesmente
.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace à equação dada termo a termo, e assumindo todas as condições iniciais iguais a zero:
- Para
temos . - Para
temos . - Para
temos . - Do lado da entrada,
e .
Portanto a transformada da equação inteira é
Passo 4
Fatorando
e
na equação transformada:
Agora isolamos a razão
, que é a função de transferência
:
Passo 5
Interpretação rápida (útil na hora da prova):
- O numerador
é o polinômio que determina os zeros do sistema (valores de que anulam a resposta em frequência). - O denominador
determina os polos (valores de que fazem a saída divergir no domínio de Laplace). Para análise de estabilidade/tempos de resposta, você encontraria as raízes desse polinômio. - Mas para pedir apenas a função de transferência, a forma racional encontrada é a resposta final e suficiente.