Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.
\frac{d^{4} y(t)}{d t^{2}}+4 \frac{d y(t)}{d t}+24 y(t)=3 \frac{d x(t)}{d t}+2 x(t)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a função de transferência do sistema descrito pela equação diferencial
\frac{d^{4}y(t)}{dt^{4}} + 4\frac{d y(t)}{dt} + 24\,y(t) = 3\frac{d x(t)}{dt} + 2\,x(t).
Informações relevantes que temos:
  • A equação relaciona a saída y(t) e a entrada x(t) por derivadas de ordens diferentes (quarta e primeira).
  • Queremos a função de transferência, ou seja, a razão entre a transformada de Laplace da saída e da entrada sob condições iniciais nulas:
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}\quad\text{(assumindo condições iniciais iguais a zero).}çõ

Passo 2

O que é a função de transferência e por que usamos a transformada de Laplace?
  • A função de transferência H(s) caracteriza um sistema linear e invariante no tempo (LTI) no domínio complexa s. Ela é definida por
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)},
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}, assumindo condições iniciais nulas (isso simplifica as contas e é o caso padrão ao pedir H(s)).
  • A transformada de Laplace transforma derivadas no tempo em polinômios em s, o que converte uma equação diferencial em uma equação algébrica — bem mais simples de manipular na prova.
  • Regra importante (derivada de ordem n):
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s)-s^{n-1}y(0)-\cdots - y^{(n-1)}(0).
Com condições iniciais nulas, isso vira simplesmente \mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s).

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace à equação dada termo a termo, e assumindo todas as condições iniciais iguais a zero:
  • Para \frac{d^{4}y(t)}{dt^{4}} temos \mathcal{L}\{\frac{d^{4}y}{dt^{4}}\}=s^{4}Y(s).
  • Para 4\frac{d y(t)}{dt} temos \mathcal{L}\{4y'(t)\}=4sY(s).
  • Para 24y(t) temos \mathcal{L}\{24y(t)\}=24Y(s).
  • Do lado da entrada, \mathcal{L}\{3x'(t)\}=3sX(s) e \mathcal{L}\{2x(t)\}=2X(s).
Portanto a transformada da equação inteira é
s^{4}Y(s) + 4sY(s) + 24Y(s) = 3sX(s) + 2X(s).

Passo 4

Fatorando Y(s) e X(s) na equação transformada:
Y(s)\bigl(s^{4}+4s+24\bigr) = X(s)\bigl(3s+2\bigr).
Agora isolamos a razão Y(s)/X(s), que é a função de transferência H(s):
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{3s+2}{s^{4}+4s+24}.

Passo 5

Interpretação rápida (útil na hora da prova):
  • O numerador 3s+2 é o polinômio que determina os zeros do sistema (valores de s que anulam a resposta em frequência).
  • O denominador s^{4}+4s+24 determina os polos (valores de s que fazem a saída divergir no domínio de Laplace). Para análise de estabilidade/tempos de resposta, você encontraria as raízes desse polinômio.
  • Mas para pedir apenas a função de transferência, a forma racional encontrada é a resposta final e suficiente.

Resposta

H(s)=\frac{3s+2}{s^{4}+4s+24}

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