Para cada um dos sistemas de equações lineares abaixo, (i) encontre a matriz ampliada do sistema, e (ii) resolva o sistema usando a eliminação Gauss-Jordan.
(a) x+y+2 z & =-1 x-2 y+z & =-5 3 x+y+z & =3
(b) x+y+2 z+3 w & =13 x-2 y+z+w & =8 3 x+y+z-w & =1
(c) x+y+z & =1 x+y-2 z & =3 2 x+y+z & =2
(d) 2 x+y+z-2 w & =1 3 x-2 y+z-6 w & =-2 x+y-z-w & =-1 6 x+z-9 w & =-2 5 x-y+2 z-8 w & =3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! A questão pede para a gente fazer duas coisas: primeiro, encontrar a matriz ampliada do sistema, e depois resolver o sistema usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. Para isso, vamos precisar entender como montar a matriz ampliada e como aplicar as operações de linha para chegar à solução. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
x + y + 2z = -1 x - 2y + z = -5 3x + y + z = 3

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz ampliada desse sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Fica assim:
1 & 1 & 2 & | & -1 1 & -2 & 1 & | & -5 3 & 1 & 1 & | & 3

Passo 4

O próximo passo é aplicar a eliminação de Gauss-Jordan para transformar essa matriz em uma forma que facilite encontrar as soluções das variáveis. A ideia é obter uma matriz diagonal onde cada variável está isolada.

Passo 5

Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está ok). Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Para isso, podemos subtrair a primeira linha da segunda e da terceira linhas.
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
(1 - 1) & = 0 (-2 - 1) & = -3 (1 - 2) & = -1 (-5 - (-1)) & = -4
Linha 3 = Linha 3 - 3 * Linha 1:
(3 - 3*1) & = 0 (1 - 3*1) & = -2 (1 - 3*2) & = -5 (3 - 3*(-1)) & = 6
A matriz fica então:
1 & 1 & 2 & | & -1 0 & -3 & -1 & | & -4 0 & -2 & -5 & | & 6

Passo 6

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por -3 para tornar o coeficiente de y igual a 1:
Linha 2 = Linha 2 / (-3):
1 & 1 & 2 & | & -1 0 & 1 & 13 & | & 43 0 & -2 & -5 & | & 6

Passo 7

Em seguida, vamos zerar o termo abaixo do 1 na segunda coluna (linha 3). Para isso, adicionamos 2 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 2:
0 + 2*0 & = 0 -2 + 2*1 & = 0 -5 + 2*13 & = -5 + 23 = -133 6 + 2*43 & = 6 + 83 = 263
A matriz agora fica:
1 & 1 & 2 & | & -1 0 & 1 & 13 & | & 43 0 & 0 & -133 & | & 263

Passo 8

Agora, vamos simplificar a terceira linha para isolar z. Podemos multiplicar a terceira linha por -313:
Linha 3 = Linha 3 * -313:
1 & 1 & 2 & | & -1 0 & 1 & 13 & | & 43 0 & 0 & 1 & | & -2

Passo 9

Com a terceira variável isolada, podemos agora substituir para encontrar y e x. Primeiro, da terceira linha, sabemos que z = -2 .
Substituindo z = -2 na segunda linha:
y + 13(-2) = 43 y - 23 = 43 y = 43 + 23 = 2
Agora, substituímos y = 2 e z = -2 na primeira linha:
x + 2 + 2*(-2) = -1 x + 2 - 4 = -1 x - 2 = -1 x = 1

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1, y = 2, z = -2

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