Seja
. Defina
.
Determine uma base ortogonal para
.
Determine uma base ortogonal para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o conjunto
, que é formado por todos os polinômios de grau até 2, tipo
. A parada é definir um produto interno entre dois polinômios usando a integral de 0 a 1 e, com isso, encontrar uma base ortogonal para esse espaço. Pra isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a transformar uma base qualquer em uma base ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma base simples para
. Uma base padrão é
. Mas essa base não é necessariamente ortogonal com relação ao produto interno definido. Nosso objetivo é transformar essa base em uma base ortogonal.
Passo 3
Vamos começar aplicando o processo de Gram-Schmidt. Primeiro, definimos
. Esse será o primeiro vetor da nossa base ortogonal.
Passo 4
Agora, queremos encontrar
que seja ortogonal a
. Para isso, pegamos o segundo vetor da base original, que é
, e subtraímos a projeção de
sobre
:
Vamos calcular os produtos internos:
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
que seja ortogonal tanto a
quanto a
. Pegamos o terceiro vetor da base original, que é
, e subtraímos as projeções sobre
e
:
Vamos calcular os produtos internos:
Então:
Resposta
Uma base ortogonal para
é: