Seja P2(R)=a x^2+b x+c ; a, b, c in R. Defina lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x, p, q in P2(R).
Determine uma base ortogonal para P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o conjunto P2(R) , que é formado por todos os polinômios de grau até 2, tipo a x^2 + b x + c . A parada é definir um produto interno entre dois polinômios usando a integral de 0 a 1 e, com isso, encontrar uma base ortogonal para esse espaço. Pra isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a transformar uma base qualquer em uma base ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma base simples para P2(R) . Uma base padrão é 1, x, x^2 . Mas essa base não é necessariamente ortogonal com relação ao produto interno definido. Nosso objetivo é transformar essa base em uma base ortogonal.

Passo 3

Vamos começar aplicando o processo de Gram-Schmidt. Primeiro, definimos u1 = 1 . Esse será o primeiro vetor da nossa base ortogonal.

Passo 4

Agora, queremos encontrar u2 que seja ortogonal a u1 . Para isso, pegamos o segundo vetor da base original, que é x , e subtraímos a projeção de x sobre u1 :
u2 = x - lang<= x, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1
Vamos calcular os produtos internos:
lang<= x, 1 rang<= = integral0^1 x cdot 1 , dx = 12
lang<= 1, 1 rang<= = integral0^1 1 cdot 1 , dx = 1
Então:
u2 = x - 1/21 cdot 1 = x - 12

Passo 5

Agora, vamos encontrar u3 que seja ortogonal tanto a u1 quanto a u2 . Pegamos o terceiro vetor da base original, que é x^2 , e subtraímos as projeções sobre u1 e u2 :
u3 = x^2 - lang<= x^2, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1 - lang<= x^2, u2 rang<=lang<= u2, u2 rang<= u2
Vamos calcular os produtos internos:
lang<= x^2, 1 rang<= = integral0^1 x^2 cdot 1 , dx = 13
lang<= x^2, x - 12 rang<= = integral0^1 x^2 (x - 12) dx = integral0^1 x^3 - 12x^2 dx = 14 - 16 = 112
lang<= u2, u2 rang<= = integral0^1 (x - 12)^2 dx = integral0^1 x^2 - x + 14 dx = 13 - 12 + 14 = 112
Então:
u3 = x^2 - 1/31 cdot 1 - 1/121/12 cdot (x - 12) = x^2 - 13 - (x - 12) = x^2 - x - 13 + 12 = x^2 - x + 16

Resposta

Uma base ortogonal para P2(R) é:
1, x - 12, x^2 - x + 16

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