Lembre que um autovalor de é um elemento do corpo de escalares para o qual existe um vetor NÃO NULO tal que , ou seja, na reta de direção determinada pelo vetor a transformação linear age ampliando/reduzindo vezes os vetores desta reta.
Qual é o menor autovalor de ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre autovalores de uma transformação linear. A gente tem uma transformação que transforma um vetor em . O objetivo é encontrar o menor autovalor dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e como encontrá-los usando matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovalor. Um autovalor de uma transformação linear é um número real tal que existe um vetor não nulo onde . Para encontrar esses , vamos montar a matriz associada à transformação e calcular seu polinômio característico.
Passo 3
Vamos representar a transformação como uma matriz. Se , então a matriz de é:
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade 2 times 2 .
Passo 4
Vamos calcular A - lambda I :
A - lambda I = -33 - lambda & -135 18 & 66 - lambda