Considere a transformação R-linear
l T: R^2 R^2 (x, y) mapsto(-33 x-135 y ; 18 x+66 y)
Lembre que um autovalor de T é um elemento lambda do corpo de escalares R para o qual existe um vetor NÃO NULO v in R^2 tal que T v=lambda v, ou seja, na reta de direção determinada pelo vetor v a transformação linear T age ampliando/reduzindo lambda vezes os vetores desta reta.
Qual é o menor autovalor de T?
square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre autovalores de uma transformação linear. A gente tem uma transformação T: R^2 R^2 que transforma um vetor (x, y) em (-33x - 135y, 18x + 66y). O objetivo é encontrar o menor autovalor dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e como encontrá-los usando matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovalor. Um autovalor lambda de uma transformação linear T é um número real tal que existe um vetor não nulo v onde T(v) = lambda v . Para encontrar esses lambda, vamos montar a matriz associada à transformação T e calcular seu polinômio característico.

Passo 3

Vamos representar a transformação T como uma matriz. Se T(x, y) = (-33x - 135y, 18x + 66y) , então a matriz de T é:
A = -33 & -135 18 & 66
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade 2 times 2 .

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I :
A - lambda I = -33 - lambda & -135 18 & 66 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-33 - lambda)(66 - lambda) - (-135)(18)

Passo 5

Vamos simplificar o determinante:
det(A - lambda I) = (-33 - lambda)(66 - lambda) + 135 times 18
Primeiro, multiplicamos os termos:
(-33 - lambda)(66 - lambda) = (-33)(66) + (-33)(-lambda) + (-lambda)(66) + (-lambda)(-lambda) = -2178 + 33lambda - 66lambda + lambda^2 = lambda^2 - 33lambda - 2178
E 135 times 18 = 2430. Então:
det(A - lambda I) = lambda^2 - 33lambda - 2178 + 2430 = lambda^2 - 33lambda + 252
Portanto, a equação característica fica:
lambda^2 - 33lambda + 252 = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática lambda^2 - 33lambda + 252 = 0 . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda = 33 pm raiz(-33)^2 - 4 times 1 times 2522 times 1 = 33 pm raiz1089 - 10082 = 33 pm raiz812 = 33 pm 92
Assim, temos dois possíveis valores para lambda:
lambda1 = 33 + 92 = 422 = 21
lambda2 = 33 - 92 = 242 = 12

Resposta

O menor autovalor de T é 12 .

Exercícios relacionados