Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e não envolve variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
Passo 1
Vou expor claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.\n
Equações do sistema (copiadas do enunciado):
Equações do sistema (copiadas do enunciado):
O que o enunciado pede:
- Usar eliminação de Gauss para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes esteja na forma linha degrau (row-echelon).
- Indicar se o sistema é consistente.
- Se for consistente e sem variáveis livres: encontrar solução única por substituição reversa.
- Se for consistente e com variáveis livres: reduzir para forma linha degrau reduzida (RREF) e obter todas as soluções.]
Passo 2
Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema (coeficientes à esquerda e termos constantes à direita). Colocando as equações em linhas, obtemos:
Lembrete rápido sobre operações permitidas (essas são as que podemos usar em eliminação de Gauss):
- trocar duas linhas;
- multiplicar uma linha por uma constante não nula;
- somar à uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Essas operações produzem um sistema equivalente (mesmas soluções).
Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 2, assim o primeiro pivô será 1 (isso simplifica as contas). Aplicando
:
Passo 3
Agora vamos zerar as entradas abaixo do pivô da coluna 1 (o pivô está em
, coluna 1). Fazemos:
-
. -
.
Calculemos
:
- entrada (2,1):
, - entrada (2,2):
, - entrada (2,3):
, - termo constante:
.
Logo torna-se .
Calculemos
:
- entrada (3,1):
, - entrada (3,2):
, - entrada (3,3):
, - termo constante:
.
Logo torna-se .
A matriz fica:
Passo 4
Observa-se que
e
ficaram iguais. Para obter a forma linha degrau (eliminar linhas redundantes), fazemos:
-
.
Isto dá
. Assim alcançamos a forma linha degrau (row-echelon):
Interpretação desta forma:
- Não existe nenhuma linha da forma
com , portanto o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução). - Os pivôs estão nas colunas 1 e 2. A coluna 3 não tem pivô, portanto
é variável livre.]
Passo 5
Como há variável livre, convém reduzir a matriz à forma linha degrau reduzida (RREF) para escrever a solução geral de forma clara. A matriz atual é
Eliminamos o coeficiente acima do pivô em
(zerar a entrada (1,2)). Fazemos:
-
.
Calculemos
:
- entrada (1,1):
, - entrada (1,2):
, - entrada (1,3):
, - termo constante:
.
Assim a matriz em RREF é:
Agora cada linha com pivô tem um
e zeros nas outras entradas da mesma coluna — é a forma reduzida.]
Passo 6
Lemos as equações correspondentes à RREF:
- da primeira linha:
. - da segunda linha:
. - a terceira linha não impõe restrição (
).
Como
é livre, escrevemos
(parâmetro real). Substituindo:
Podemos também escrever em forma vetorial:
Resposta
Matriz aumentada em forma linha degrau:
O sistema é consistente e possui variáveis livres (
é livre).
Matriz aumentada na forma linha degrau reduzida (RREF):
Todas as soluções (parâmetro
):