Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e não envolve variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=1
\begin{array}{r} x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \\\\ 3 x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}=4 \end{array}

Passo 1

Vou expor claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.\n
Equações do sistema (copiadas do enunciado):
\begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=1,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}=3,\\[4pt] 3x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=4. \end{cases}
O que o enunciado pede:
  • Usar eliminação de Gauss para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes esteja na forma linha degrau (row-echelon).
  • Indicar se o sistema é consistente.
  • Se for consistente e sem variáveis livres: encontrar solução única por substituição reversa.
  • Se for consistente e com variáveis livres: reduzir para forma linha degrau reduzida (RREF) e obter todas as soluções.]

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema (coeficientes à esquerda e termos constantes à direita). Colocando as equações em linhas, obtemos:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 3 & 4 & 2 & 4 \end{array}\right].
Lembrete rápido sobre operações permitidas (essas são as que podemos usar em eliminação de Gauss):
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por uma constante não nula;
  • somar à uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
    Essas operações produzem um sistema equivalente (mesmas soluções).
Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 2, assim o primeiro pivô será 1 (isso simplifica as contas). Aplicando R_1 \leftrightarrow R_2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 4 & 2 & 4 \end{array}\right].]

Passo 3

Agora vamos zerar as entradas abaixo do pivô da coluna 1 (o pivô está em R_1, coluna 1). Fazemos:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculemos R_2 - 2R_1:
  • entrada (2,1): 2 - 2\cdot1 = 0,
  • entrada (2,2): 3 - 2\cdot1 = 1,
  • entrada (2,3): 1 - 2\cdot1 = -1,
  • termo constante: 1 - 2\cdot3 = 1 - 6 = -5.
    Logo R_2 torna-se [0\\ \\\ 1\\ \\\ -1\\ |\\\ -5].
Calculemos R_3 - 3R_1:
  • entrada (3,1): 3 - 3\cdot1 = 0,
  • entrada (3,2): 4 - 3\cdot1 = 1,
  • entrada (3,3): 2 - 3\cdot1 = -1,
  • termo constante: 4 - 3\cdot3 = 4 - 9 = -5.
    Logo R_3 torna-se [0\\ \\\ 1\\ \\\ -1\\ |\\\ -5].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -5 \end{array}\right].]

Passo 4

Observa-se que R_2 e R_3 ficaram iguais. Para obter a forma linha degrau (eliminar linhas redundantes), fazemos:
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Isto dá R_3 = [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0]. Assim alcançamos a forma linha degrau (row-echelon):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Interpretação desta forma:
  • Não existe nenhuma linha da forma [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\ b] com b\neq 0, portanto o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução).
  • Os pivôs estão nas colunas 1 e 2. A coluna 3 não tem pivô, portanto x_3 é variável livre.]

Passo 5

Como há variável livre, convém reduzir a matriz à forma linha degrau reduzida (RREF) para escrever a solução geral de forma clara. A matriz atual é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Eliminamos o coeficiente acima do pivô em R_2 (zerar a entrada (1,2)). Fazemos:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
Calculemos R_1 - R_2:
  • entrada (1,1): 1 - 0 = 1,
  • entrada (1,2): 1 - 1 = 0,
  • entrada (1,3): 1 - (-1) = 2,
  • termo constante: 3 - (-5) = 8.
Assim a matriz em RREF é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 8\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Agora cada linha com pivô tem um 1 e zeros nas outras entradas da mesma coluna — é a forma reduzida.]

Passo 6

Lemos as equações correspondentes à RREF:
  • da primeira linha: x_{1} + 2x_{3} = 8.
  • da segunda linha: x_{2} - x_{3} = -5.
  • a terceira linha não impõe restrição ( 0=0 ).
Como x_{3} é livre, escrevemos x_{3}=t (parâmetro real). Substituindo:
\begin{cases} x_{1} = 8 - 2t,\\[4pt] x_{2} = -5 + t,\\[4pt] x_{3} = t, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.
Podemos também escrever em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\[4pt]-5\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

Resposta

Matriz aumentada em forma linha degrau:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
O sistema é consistente e possui variáveis livres ( x_{3} é livre).
Matriz aumentada na forma linha degrau reduzida (RREF):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 8\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Todas as soluções (parâmetro t\in\mathbb{R}):
x_{1}=8-2t,\qquad x_{2}=-5+t,\qquad x_{3}=t.]

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