Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e não envolve variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
O enunciado fornece o seguinte sistema linear e pede que eu use eliminação gaussiana para obter uma matriz de coeficientes em forma linha degrau, e então:
indicar se o sistema é consistente;
se for consistente e não houver variáveis livres: resolver por substituição reversa;
se for consistente com variáveis livres: levar à forma linha degrau reduzida e descrever todas as soluções.
As informações relevantes que tenho são exatamente as quatro equações acima. Vou convertê-las em matriz aumentada e aplicar eliminação gaussiana (operações elementares nas linhas) até obter a forma linha degrau, verificar consistência e, conforme o caso, encontrar soluções.]
Passo 2
Primeiro passo prático: escrevo a matriz aumentada (coeficientes + coluna de termos independentes). Cada entrada numérica será colocada em notação matemática:
Explicação rápida sobre esta representação: cada linha corresponde a uma equação; colunas 1–4 são os coeficientes de \,x_1,x_2,x_3,x_4, e a coluna após a barra é o termo independente.]
Passo 3
Agora aplico eliminação gaussiana. Vou usar a primeira linha como pivô para eliminar as entradas abaixo da primeira coluna.
Comentário didático: as operações R_i \leftarrow R_i + kR_j não mudam o conjunto de soluções do sistema; elas apenas transformam o sistema em outro equivalente mais fácil de resolver. O objetivo é obter zeros abaixo dos pivôs (forma linha degrau).]
Passo 4
Agora tomo a segunda linha como pivô (entrada 1 na coluna 2) e elimino as entradas na coluna 2 nas linhas abaixo.
Explicação curta: agora já tenho zeros nas posições abaixo dos pivôs das colunas 1 e 2; prossigo com a coluna 3.]
Passo 5
Agora uso a terceira linha como pivô na coluna 3. Observando R_3=(0,0,-5,-5\mid 7) e R_4=(0,0,5,5\mid -2), uma operação natural para eliminar a entrada da linha 4 na coluna 3 é somar R_3 e R_4:
Operação:
R_4 \leftarrow R_4 + R_3.
Calculemos:
Soma das entradas das colunas de coeficientes: (5)+(-5)=0 e (5)+(-5)=0, ou seja, todas as entradas de coeficiente na linha 4 ficam zero.
Para o termo independente: -2 + 7 = 5.
Assim a linha 4 torna-se (0,0,0,0 \mid 5), e a matriz é
Isto é uma contradição (uma equação falsa). Em termos de consistência de sistemas lineares, a presença de uma linha da forma (0,0,\dots,0 \mid b) com b\neq 0 na matriz aumentada indica que o sistema é inconsistente: não existe nenhum conjunto de valores de \,x_1,x_2,x_3,x_4, que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Portanto não há soluções. Não faz sentido prosseguir para forma linha degrau reduzida ou substituição reversa, porque o sistema já é provado inconsistente.