Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e não envolve variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
\begin{array}{r} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}-x_{4}=2 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}=5 \\\\ 3 x_{1}+6 x_{2}-x_{3}-x_{4}=4 \end{array}

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte sistema linear e pede que eu use eliminação gaussiana para obter uma matriz de coeficientes em forma linha degrau, e então:
  • indicar se o sistema é consistente;
  • se for consistente e não houver variáveis livres: resolver por substituição reversa;
  • se for consistente com variáveis livres: levar à forma linha degrau reduzida e descrever todas as soluções.
O sistema é
\begin{array}{r} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,\\[4pt] 2x_{1}+3x_{2}-x_{3}-x_{4}=2,\\[4pt] 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}+x_{4}=5,\\[4pt] 3x_{1}+6x_{2}-x_{3}-x_{4}=4. \end{array}
As informações relevantes que tenho são exatamente as quatro equações acima. Vou convertê-las em matriz aumentada e aplicar eliminação gaussiana (operações elementares nas linhas) até obter a forma linha degrau, verificar consistência e, conforme o caso, encontrar soluções.]

Passo 2

Primeiro passo prático: escrevo a matriz aumentada (coeficientes + coluna de termos independentes). Cada entrada numérica será colocada em notação matemática:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 3 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 3 & 2 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 3 & 6 & -1 & -1 & 4 \end{array}\right].
Explicação rápida sobre esta representação: cada linha corresponde a uma equação; colunas 1–4 são os coeficientes de \,x_1,x_2,x_3,x_4, e a coluna após a barra é o termo independente.]

Passo 3

Agora aplico eliminação gaussiana. Vou usar a primeira linha como pivô para eliminar as entradas abaixo da primeira coluna.
Operações (escritas em forma matemática):
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1.
Faço as contas linha a linha:
  • R_2: (2,3,-1,-1\mid 2) - 2(1,1,1,1\mid 0) = (0,1,-3,-3\mid 2).
  • R_3: (3,2,1,1\mid 5) - 3(1,1,1,1\mid 0) = (0,-1,-2,-2\mid 5).
  • R_4: (3,6,-1,-1\mid 4) - 3(1,1,1,1\mid 0) = (0,3,-4,-4\mid 4).
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -3 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -2 & 5\\[4pt] 0 & 3 & -4 & -4 & 4 \end{array}\right].
Comentário didático: as operações R_i \leftarrow R_i + kR_j não mudam o conjunto de soluções do sistema; elas apenas transformam o sistema em outro equivalente mais fácil de resolver. O objetivo é obter zeros abaixo dos pivôs (forma linha degrau).]

Passo 4

Agora tomo a segunda linha como pivô (entrada 1 na coluna 2) e elimino as entradas na coluna 2 nas linhas abaixo.
Operações:
R_3 \leftarrow R_3 + R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 3R_2.
Calculemos:
  • R_3: (0,-1,-2,-2\mid 5) + (0,1,-3,-3\mid 2) = (0,0,-5,-5\mid 7).
  • R_4: (0,3,-4,-4\mid 4) - 3(0,1,-3,-3\mid 2) = (0,0,5,5\mid -2).
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -3 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -5 & -5 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 5 & -2 \end{array}\right].
Explicação curta: agora já tenho zeros nas posições abaixo dos pivôs das colunas 1 e 2; prossigo com a coluna 3.]

Passo 5

Agora uso a terceira linha como pivô na coluna 3. Observando R_3=(0,0,-5,-5\mid 7) e R_4=(0,0,5,5\mid -2), uma operação natural para eliminar a entrada da linha 4 na coluna 3 é somar R_3 e R_4:
Operação:
R_4 \leftarrow R_4 + R_3.
Calculemos:
  • Soma das entradas das colunas de coeficientes: (5)+(-5)=0 e (5)+(-5)=0, ou seja, todas as entradas de coeficiente na linha 4 ficam zero.
  • Para o termo independente: -2 + 7 = 5.
Assim a linha 4 torna-se (0,0,0,0 \mid 5), e a matriz é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -3 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -5 & -5 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação desse resultado: a quarta linha corresponde à equação
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = 5,
ou seja,
0 = 5.
Isto é uma contradição (uma equação falsa). Em termos de consistência de sistemas lineares, a presença de uma linha da forma (0,0,\dots,0 \mid b) com b\neq 0 na matriz aumentada indica que o sistema é inconsistente: não existe nenhum conjunto de valores de \,x_1,x_2,x_3,x_4, que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Portanto não há soluções. Não faz sentido prosseguir para forma linha degrau reduzida ou substituição reversa, porque o sistema já é provado inconsistente.

Resposta

O sistema é inconsistente; não existe solução.

Exercícios relacionados