As matrizes aumentadas a seguir estão na forma linha degrau. Em cada caso, indique se o sistema linear correspondente é consistente. Se o sistema tiver uma única solução, encontre-a.
\left(\begin{array}{rrr|r}1 & -1 & 3 & 8 \\\\ 0 & 1 & 2 & 7 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada (já na forma linha degrau):
\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 3 & 8 \\\\ 0 & 1 & 2 & 7 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
As perguntas são:
  • O sistema linear correspondente é consistente?
  • Se o sistema tiver solução única, qual é essa solução?
Informações relevantes extraídas da matriz:
  • A matriz é aumentada de um sistema com três incógnitas; denotemos as incógnitas por \,x_1,x_2,x_3.
  • As linhas não nulas mostram coeficientes e termos independentes para três equações (a última linha é a linha zero).
  • A matriz está na forma linha degrau (há pivôs claros nas colunas).

Passo 2

O que significa ser consistente?
Um sistema linear é consistente se não existe uma equação contraditória do tipo
0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3 = b
com \,b\neq0. Em termos da matriz aumentada, isso aparece como uma linha [0\\\ 0\\\ 0 \mid b] com b\neq0.
Verificando a matriz dada: a única linha totalmente nula é a última linha [0\\\ 0\\\ 0 \mid 0]. Não há nenhuma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0 \mid b] com b\neq0. Portanto o sistema é consistente.

Passo 3

Agora identificar se a solução é única ou infinitas soluções. Regra prática:
  • Se cada incógnita corresponde a uma coluna com pivô (ou seja, existem três pivôs para três incógnitas), então não há incógnitas livres e a solução é única.
  • Se faltar pivô em alguma coluna de incógnita, haverá variáveis livres e, em geral, infinitas soluções.
Na matriz dada os pivôs (os primeiros 1 de cada linha não nula) estão nas colunas 1, 2 e 3 — ou seja, cada coluna de incógnita tem um pivô. Logo não existem variáveis livres e o sistema tem solução única.

Passo 4

Para encontrar a solução única, escrevemos as equações correspondentes às linhas não nulas e resolvemos por substituição regressiva (back-substitution). As equações são:
da terceira linha:
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 2,
ou seja
x_3 = 2.
da segunda linha:
0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 2\cdot x_3 = 7,
ou seja
x_2 + 2x_3 = 7.
da primeira linha:
1\cdot x_1 -1\cdot x_2 + 3\cdot x_3 = 8,
ou seja
x_1 - x_2 + 3x_3 = 8.

Passo 5

Substituímos passo a passo os valores já conhecidos:
Da terceira linha já temos \,x_3 = 2.
Substituindo em \,x_2 + 2x_3 = 7:
x_2 + 2\cdot 2 = 7 \quad\Rightarrow\quad x_2 + 4 = 7 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 7-4 = 3.
Substituindo \,x_2=3 e \,x_3=2 na primeira equação \,x_1 - x_2 + 3x_3 = 8:
x_1 - 3 + 3\cdot 2 = 8 \quad\Rightarrow\quad x_1 -3 +6 = 8 \quad\Rightarrow\quad x_1 +3 = 8 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 8-3 = 5.

Resposta

Consistente.
(x_1,x_2,x_3) = (5,3,2)

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