Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e não envolve variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
\begin{array}{r} x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=4 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=1 \\\\ 7 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}=7 \end{array}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear abaixo e pede para aplicar eliminação gaussiana para obter uma matriz de coeficientes na forma linha degrau, dizer se o sistema é consistente e, se possível, obter a solução (ou todas as soluções):
\begin{array}{r} x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=4 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=1 \\\\ 7 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}=7 \end{array}
Informações relevantes dadas:
  • São três equações lineares em três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}.
  • Devemos usar eliminação gaussiana (operações elementares por linhas) para levar a matriz aumentada à forma linha degrau e analisar consistência.

Passo 2

Breve lembrete didático sobre eliminação gaussiana (para me sentir confiante na prova):
  • Represento o sistema pela matriz aumentada (coeficientes e termos constantes).
  • Operações elementares permitidas em linhas: (1) trocar duas linhas; (2) multiplicar uma linha por um escalar não nulo; (3) substituir uma linha pela soma dela com um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • O objetivo da forma linha degrau (row-echelon) é obter zeros abaixo de pivôs (primeiros elementos não nulos de cada linha não-nula), criando uma triangularidade que facilita a resolução por substituição reversa.
    Agora vamos montar a matriz aumentada.

Passo 3

Matriz aumentada inicial (peguei os coeficientes e termos constantes do enunciado):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 4\\[4pt] 2 & 3 & -1 & 1\\[4pt] 7 & 3 & 4 & 7 \end{array}\right]
Vou usar a primeira linha como pivô para zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da coluna 1.]

Passo 4

Eliminar abaixo do pivô da primeira coluna:
  • Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}.
  • Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-7R_{1}.
Calculemos cada linha:
Para R_{2}:
R_{2}-2R_{1}=\bigl[\,2-2\cdot1,\;3-2\cdot(-1),\;-1-2\cdot2,\;1-2\cdot4\,\bigr]=[0,\;5,\;-5,\;-7].
Para R_{3}:
R_{3}-7R_{1}=\bigl[\,7-7\cdot1,\;3-7\cdot(-1),\;4-7\cdot2,\;7-7\cdot4\,\bigr]=[0,\;10,\;-10,\;-21].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 5 & -5 & -7\\[4pt] 0 & 10 & -10 & -21 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora uso o pivô da segunda linha (elemento 5 na coluna 2) para zerar abaixo dele:
  • Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{2}.
Calculemos:
R_{3}-2R_{2}=\bigl[\,0-2\cdot0,\;10-2\cdot5,\;-10-2\cdot(-5),\;-21-2\cdot(-7)\,\bigr]=[0,\;0,\;0,\;-7].
A matriz transformada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 5 & -5 & -7\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -7 \end{array}\right]
Esta é uma forma linha degrau (tem pivôs nas linhas 1 e 2, e a terceira linha é toda zero nos coeficientes, exceto no termo constante).]

Passo 6

Interpretação da última linha: ela corresponde à equação
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=-7,
ou seja,
0=-7.
Isto é uma contradição impossível. Quando, após eliminação, aparece uma linha da forma [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0, o sistema é inconsistente — não existe nenhum vetor (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.

Passo 7

Conclusão e significado prático para a prova:
  • Já que a eliminação gaussiana levou a uma linha inconsistente, não há solução.
  • Não é necessário continuar para forma linha degrau reduzida nem fazer substituição reversa, porque não há pontos de solução a encontrar.
  • Em termos didáticos: sempre cheque a existência de linhas nulas nos coeficientes com termo constante não nulo; isso indica inconsitência imediatamente.

Resposta

O sistema é inconsistente; não tem solução.

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