Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e não envolve variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
O enunciado nos dá o sistema linear abaixo e pede para aplicar eliminação gaussiana para obter uma matriz de coeficientes na forma linha degrau, dizer se o sistema é consistente e, se possível, obter a solução (ou todas as soluções):
São três equações lineares em três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}.
Devemos usar eliminação gaussiana (operações elementares por linhas) para levar a matriz aumentada à forma linha degrau e analisar consistência.
Passo 2
Breve lembrete didático sobre eliminação gaussiana (para me sentir confiante na prova):
Represento o sistema pela matriz aumentada (coeficientes e termos constantes).
Operações elementares permitidas em linhas: (1) trocar duas linhas; (2) multiplicar uma linha por um escalar não nulo; (3) substituir uma linha pela soma dela com um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
O objetivo da forma linha degrau (row-echelon) é obter zeros abaixo de pivôs (primeiros elementos não nulos de cada linha não-nula), criando uma triangularidade que facilita a resolução por substituição reversa.
Agora vamos montar a matriz aumentada.
Passo 3
Matriz aumentada inicial (peguei os coeficientes e termos constantes do enunciado):
Esta é uma forma linha degrau (tem pivôs nas linhas 1 e 2, e a terceira linha é toda zero nos coeficientes, exceto no termo constante).]
Passo 6
Interpretação da última linha: ela corresponde à equação
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=-7,
ou seja,
0=-7.
Isto é uma contradição impossível. Quando, após eliminação, aparece uma linha da forma [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0, o sistema é inconsistente — não existe nenhum vetor (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.
Passo 7
Conclusão e significado prático para a prova:
Já que a eliminação gaussiana levou a uma linha inconsistente, não há solução.
Não é necessário continuar para forma linha degrau reduzida nem fazer substituição reversa, porque não há pontos de solução a encontrar.
Em termos didáticos: sempre cheque a existência de linhas nulas nos coeficientes com termo constante não nulo; isso indica inconsitência imediatamente.