Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e não envolve variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
\begin{array}{r} x_{1}-2 x_{2}=3 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}=1 \\\\ -5 x_{1}+8 x_{2}=4 \end{array}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{array}{r} x_{1}-2 x_{2}=3 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}=1 \\\\ -5 x_{1}+8 x_{2}=4 \end{array}
Pede-se: aplicar eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau; indicar se o sistema é consistente; se houver solução única, usar substituição reversa; se houver variáveis livres, reduzir à forma linha degrau reduzida e obter todas as soluções.
Informações relevantes fornecidas:
  • Três equações e duas incógnitas x_{1} e x_{2}.
  • Deve-se usar eliminação gaussiana (operações elementares sobre linhas da matriz aumentada).

Passo 2

Montar a matriz aumentada do sistema (coeficientes à esquerda, constantes à direita). A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ -5 & 8 & 4 \end{array}\right].
Breve explicação da técnica (para lembrar na hora da prova): eliminação gaussiana usa três tipos de operações elementares em linhas que preservam o conjunto de soluções:
  1. trocar duas linhas;
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  3. somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
    O objetivo é obter uma matriz em forma linha degrau (row echelon): linhas com primeiros elementos não nulos deslocados para a direita à medida que desce, e linhas formadas só por zeros, se existirem, embaixo.

Passo 3

Primeiro passo prático: usar a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo do pivô na primeira coluna.
Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}+5R_{1}.
Calculemos cada operação:
  • R_{2}-2R_{1}: [2,\,1,\,1] - 2\cdot[1,\,-2,\,3] = [2-2,\;1-2(-2),\;1-2\cdot3] = [0,\;1+4,\;1-6] = [0,\;5,\;-5].
  • R_{3}+5R_{1}: [-5,\,8,\,4] + 5\cdot[1,\,-2,\,3] = [-5+5,\;8+5(-2),\;4+5\cdot3] = [0,\;8-10,\;4+15] = [0,\;-2,\;19].
A matriz após essas duas operações fica
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3 \\\\ 0 & 5 & -5 \\\\ 0 & -2 & 19 \end{array}\right].
Isto já tem a primeira coluna no formato desejado (pivô em cima e zeros abaixo).

Passo 4

Agora usar o pivô da segunda linha (entrada 5 na coluna 2) para zerar a entrada abaixo dele na mesma coluna.
Queremos zerar o -2 da terceira linha. Faço R_{3}\leftarrow R_{3}+\dfrac{2}{5}R_{2}.
Calculemos:
  • \dfrac{2}{5}R_{2} = \dfrac{2}{5}\cdot[0,\,5,\,-5] = [0,\,2,\,-2].
  • R_{3} + \dfrac{2}{5}R_{2} = [0,\,-2,\,19] + [0,\,2,\,-2] = [0,\,0,\,17].
Assim obtemos a matriz
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3 \\\\ 0 & 5 & -5 \\\\ 0 & 0 & 17 \end{array}\right].

Passo 5

Interpretação da forma linha degrau obtida:
A terceira linha é [0\;\;0\;|\;17], que corresponde à equação
0\cdot x_{1} + 0\cdot x_{2} = 17,
ou seja
0 = 17.
Isto é uma contradição (uma equação impossível). Em termos de sistemas lineares, uma linha do tipo [0\;0\;|\;c] com c\neq 0 indica que o sistema é inconsistente (não há nenhum vetor (x_{1},x_{2}) que satisfaça todas as equações simultaneamente).

Passo 6

Conclusão e interpretação final (como fazer na prova):
  • A matriz foi transformada por operações elementares na forma linha degrau
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3 \\\\ 0 & 5 & -5 \\\\ 0 & 0 & 17 \end{array}\right].
  • A presença da linha [0\;0\;|\;17] dá a equação impossível 0=17.
  • Portanto o sistema é inconsistente: não existem soluções.
  • Como não há soluções, não faz sentido procurar substituição reversa ou variáveis livres.

Resposta

O sistema é inconsistente; não tem solução.

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