Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e não envolve variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
Pede-se: aplicar eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau; indicar se o sistema é consistente; se houver solução única, usar substituição reversa; se houver variáveis livres, reduzir à forma linha degrau reduzida e obter todas as soluções.
Informações relevantes fornecidas:
Três equações e duas incógnitas x_{1} e x_{2}.
Deve-se usar eliminação gaussiana (operações elementares sobre linhas da matriz aumentada).
Passo 2
Montar a matriz aumentada do sistema (coeficientes à esquerda, constantes à direita). A matriz aumentada é
Breve explicação da técnica (para lembrar na hora da prova): eliminação gaussiana usa três tipos de operações elementares em linhas que preservam o conjunto de soluções:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
O objetivo é obter uma matriz em forma linha degrau (row echelon): linhas com primeiros elementos não nulos deslocados para a direita à medida que desce, e linhas formadas só por zeros, se existirem, embaixo.
Passo 3
Primeiro passo prático: usar a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo do pivô na primeira coluna.
Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}+5R_{1}.
A terceira linha é [0\;\;0\;|\;17], que corresponde à equação
0\cdot x_{1} + 0\cdot x_{2} = 17,
ou seja
0 = 17.
Isto é uma contradição (uma equação impossível). Em termos de sistemas lineares, uma linha do tipo [0\;0\;|\;c] com c\neq 0 indica que o sistema é inconsistente (não há nenhum vetor (x_{1},x_{2}) que satisfaça todas as equações simultaneamente).
Passo 6
Conclusão e interpretação final (como fazer na prova):
A matriz foi transformada por operações elementares na forma linha degrau