Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e não envolve variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
\begin{array}{r} x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}+x_{4}=1 \\\\ -x_{1}-x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=6 \\\\ -2 x_{1}-4 x_{2}+7 x_{3}-x_{4}=1 \end{array}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{array}{r} x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}+x_{4}=1,\\[4pt] - x_{1}-x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=6,\\[4pt] -2 x_{1}-4 x_{2}+7 x_{3}-x_{4}=1, \end{array}
e pede:
  • usar eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes esteja na forma linha degrau (forma escalonada por linhas);
  • indicar se o sistema é consistente;
  • se for consistente e não houver variáveis livres, obter a solução única por substituição reversa; se houver variáveis livres, transformar para a forma linha degrau reduzida e obter todas as soluções.
Informações fornecidas (coeficientes e termos constantes):
  • Equação 1: coeficientes \,1,\,2,\,-3,\,1 e termo constante 1.
  • Equação 2: coeficientes -1,-1,4,-1 e termo constante 6.
  • Equação 3: coeficientes -2,-4,7,-1 e termo constante 1.]

Passo 2

Representação em matriz aumentada (coeficientes | termos constantes). Colocando as equações em forma de matriz:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -3 & 1 & 1\\[4pt] -1 & -1 & 4 & -1 & 6\\[4pt] -2 & -4 & 7 & -1 & 1 \end{array}\right].
Explicação curta: a matriz aumentada reúne a parte de coeficientes e a coluna dos termos constantes, e vamos aplicar operações elementares por linhas para obter uma forma escalonada equivalente.]

Passo 3

Operações elementares permitidas (que preservam o conjunto solução):
  1. trocar duas linhas;
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  3. adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Usarei apenas essas operações para eliminar abaixo dos pivôs e obter a forma linha degrau.

Passo 4

Eliminação para obter forma linha degrau (detalhando as operações):
Matriz inicial:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -3 & 1 & 1\\[4pt] -1 & -1 & 4 & -1 & 6\\[4pt] -2 & -4 & 7 & -1 & 1 \end{array}\right]
Usar R_1 para eliminar as entradas abaixo do primeiro pivô (que já é 1):
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 + R_1:
R_2: (-1+1,\; -1+2,\; 4-3,\; -1+1 \mid 6+1) = (0,\;1,\;1,\;0 \mid 7).
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1:
R_3: (-2+2,\; -4+4,\; 7-6,\; -1+2 \mid 1+2) = (0,\;0,\;1,\;1 \mid 3).
A matriz após essas operações:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right].
Isto é um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau (cada linha não-nula tem um pivô que está à direita do pivô da linha acima).]

Passo 5

Determinar consistência e variáveis livres a partir da forma escalonada:
  • Não aparece nenhuma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0 \mid b] com b\neq 0. Logo, o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução).
  • Pivôs estão nas colunas 1, 2 e 3. Há 4 variáveis x_1,x_2,x_3,x_4, logo a coluna 4 (variável x_4) não é coluna-pivô → x_4 é uma variável livre.
    Portanto o sistema é consistente e tem infinitas soluções paramétricas (uma liberdade).

Passo 6

Substituição reversa (usar as linhas escalonadas para expressar as variáveis em função da(s) livre(s)):
A forma escalonada corresponde ao sistema
\begin{array}{r} x_{1}+2x_{2}-3x_{3}+x_{4}=1,\\[4pt] x_{2}+x_{3}=7,\\[4pt] x_{3}+x_{4}=3. \end{array}
Começar pela última equação:
x_{3}+x_{4}=3 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=3-x_{4}.
Substituir em x_{2}+x_{3}=7:
x_{2}+(3-x_{4})=7 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=7-3+x_{4}=4+x_{4}.
Finalmente, substituir x_2 e x_3 na primeira equação para obter x_1:
x_{1}+2x_{2}-3x_{3}+x_{4}=1.
Substituindo x_{2}=4+x_{4} e x_{3}=3-x_{4}:
x_{1}+2(4+x_{4})-3(3-x_{4})+x_{4}=1.
Calcule passo a passo:
x_{1}+8+2x_{4}-9+3x_{4}+x_{4}=1.
Agrupando termos constantes e os de x_{4}:
x_{1}+(8-9)+ (2x_{4}+3x_{4}+x_{4})=1
x_{1}-1+6x_{4}=1.
Isolando x_{1}:
x_{1}=1+1-6x_{4}=2-6x_{4}.
Portanto, em termos da variável livre x_{4} (chame-a de parâmetro t, com t\in\mathbb{R} e t=x_{4}):
\begin{aligned} x_{1} &= 2-6t,\\[4pt] x_{2} &= 4+t,\\[4pt] x_{3} &= 3-t,\\[4pt] x_{4} &= t. \end{aligned}]

Passo 7

Transformação para a forma linha degrau reduzida (RREF) para escrever a solução de maneira direta:
Partimos da matriz escalonada
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right].
Eliminar acima dos pivôs para obter pivôs com zeros em todas as outras entradas de sua coluna:
  1. Eliminar a coluna 3 acima do pivô em R_3:
  • R_2\leftarrow R_2 - R_3 R_2 = [0\\\ 1\\\ 0\\\ -1\mid 4].
  • R_1\leftarrow R_1 + 3R_3 R_1 = [1\\\ 2\\\ 0\\\ 4\mid 10].
  1. Eliminar a coluna 2 acima do pivô em R_2:
  • R_1\leftarrow R_1 - 2R_2 R_1 = [1\\\ 0\\\ 0\\\ 6\mid 2].
Após essas operações a matriz em RREF é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 6 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right].
As equações correspondentes em forma reduzida são
\begin{aligned} x_{1}+6x_{4}&=2,\\[4pt] x_{2}-x_{4}&=4,\\[4pt] x_{3}+x_{4}&=3, \end{aligned}
que levam à mesma parametrização com t=x_{4}:
x_{1}=2-6t,\quad x_{2}=4+t,\quad x_{3}=3-t,\quad x_{4}=t.
Forma vetorial (escrevendo a solução em termos de um vetor particular mais combinação do vetor livre):
\begin{aligned} \begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\\[2pt]x_{4}\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}2\\[2pt]4\\[2pt]3\\[2pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-6\\[2pt]1\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}. \end{aligned}
Observação final de incentivo: o procedimento foi eliminar baixo para cima (forma escalonada) e depois limpar acima dos pivôs para a forma reduzida — essa rotina é exatamente o que o professor espera que seja feita na prova. Se bater ansiedade, lembrar: faça um pivô de cada vez, elimine colunas de forma sistemática, e use um parâmetro para cada variável livre.]

Resposta

Matriz de coeficientes em forma linha degrau:
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
O sistema é consistente (não há linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid b] com b\neq0). Há uma variável livre: x_{4}.
Matriz em forma linha degrau reduzida (RREF):
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Todas as soluções (com parâmetro t=x_{4}\in\mathbb{R}):
x_{1}=2-6t,\quad x_{2}=4+t,\quad x_{3}=3-t,\quad x_{4}=t.]

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