Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e não envolve variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
usar eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes esteja na forma linha degrau (forma escalonada por linhas);
indicar se o sistema é consistente;
se for consistente e não houver variáveis livres, obter a solução única por substituição reversa; se houver variáveis livres, transformar para a forma linha degrau reduzida e obter todas as soluções.
Informações fornecidas (coeficientes e termos constantes):
Equação 1: coeficientes \,1,\,2,\,-3,\,1 e termo constante 1.
Equação 2: coeficientes -1,-1,4,-1 e termo constante 6.
Equação 3: coeficientes -2,-4,7,-1 e termo constante 1.]
Passo 2
Representação em matriz aumentada (coeficientes | termos constantes). Colocando as equações em forma de matriz:
Explicação curta: a matriz aumentada reúne a parte de coeficientes e a coluna dos termos constantes, e vamos aplicar operações elementares por linhas para obter uma forma escalonada equivalente.]
Passo 3
Operações elementares permitidas (que preservam o conjunto solução):
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Usarei apenas essas operações para eliminar abaixo dos pivôs e obter a forma linha degrau.
Passo 4
Eliminação para obter forma linha degrau (detalhando as operações):
Isto é um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau (cada linha não-nula tem um pivô que está à direita do pivô da linha acima).]
Passo 5
Determinar consistência e variáveis livres a partir da forma escalonada:
Não aparece nenhuma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0 \mid b] com b\neq 0. Logo, o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução).
Pivôs estão nas colunas 1, 2 e 3. Há 4 variáveis x_1,x_2,x_3,x_4, logo a coluna 4 (variável x_4) não é coluna-pivô → x_4 é uma variável livre.
Portanto o sistema é consistente e tem infinitas soluções paramétricas (uma liberdade).
Passo 6
Substituição reversa (usar as linhas escalonadas para expressar as variáveis em função da(s) livre(s)):
Observação final de incentivo: o procedimento foi eliminar baixo para cima (forma escalonada) e depois limpar acima dos pivôs para a forma reduzida — essa rotina é exatamente o que o professor espera que seja feita na prova. Se bater ansiedade, lembrar: faça um pivô de cada vez, elimine colunas de forma sistemática, e use um parâmetro para cada variável livre.]