Em cada um dos sistemas
(1) \left\{\begin{aligned} 3 x-2 y+z & =0 \\\ x+3 y-2 z & =0\end{aligned}\right.
(2) \left\{\begin{array}{l}2 x+z=1 \\\\ -x+y-z=0\end{array}\right.
escrever o conjunto solução das seguintes formas:
em função da variável z; e

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas lineares e pede, para cada um, escrever o conjunto solução “em função da variável [z)”. Ou seja: expressar x e y como funções de z (tratar z como parâmetro livre) e apresentar o conjunto de todas as soluções.
Sistema (1):
\begin{cases} 3x-2y+z=0,\\[4pt] x+3y-2z=0. \end{cases}
Sistema (2):
\begin{cases} 2x+z=1,\\[4pt] -x+y-z=0. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Em cada sistema há duas equações e três incógnitas x,y,z\]. - O pedido é parametrizar as soluções usando \(z (ou seja, deixar z livre e encontrar x e y em função de z).]

Passo 2

Breve orientação metodológica (útil para a prova): quando o número de incógnitas é maior que o número de equações lineares, normalmente existem infinitas soluções e podemos escolher uma variável livre (aqui já pediram z). O procedimento padrão é:
  1. considerar z como parâmetro (livre);
  2. usar substituição ou eliminação para resolver as equações e obter x e y em função de z;
  3. escrever o conjunto de soluções parametrizado por z.
Agora aplico isso ao sistema (1).

Passo 3

Resolver o sistema (1). Reescrevo as equações para manipular com clareza:
\begin{cases} 3x-2y+z=0,\\[4pt] x+3y-2z=0. \end{cases}
Escolho fazer substituição: isolo x na segunda equação (porque ela tem coeficiente 1 em x):
x = -3y + 2z.
Substituo essa expressão para x na primeira equação:
3(-3y+2z)-2y+z=0.]

Passo 4

Continuo as contas da substituição para achar y em função de z. Calculo passo a passo:
3(-3y+2z)-2y+z = -9y+6z-2y+z = -11y +7z.
A equação fica
-11y+7z=0.
Isolando y:
y=\dfrac{7}{11}\,z.
Agora volto para x = -3y+2z e substituo y:
x = -3\cdot\frac{7}{11}z + 2z = -\frac{21}{11}z + \frac{22}{11}z = \frac{1}{11}z.
Portanto, para o sistema (1) obtivemos
x=\dfrac{1}{11}z,\qquad y=\dfrac{7}{11}z,\qquad z\\ \text{livre}.

Passo 5

Faço uma checagem rápida (substituição de volta nas equações) para garantir que não houve erro aritmético.
Primeira equação:
3x-2y+z = 3\cdot\frac{1}{11}z -2\cdot\frac{7}{11}z + z = \left(\frac{3}{11}-\frac{14}{11}+1\right)z = \left(\frac{3-14+11}{11}\right)z = 0.
Segunda equação:
x+3y-2z = \frac{1}{11}z + 3\cdot\frac{7}{11}z -2z = \left(\frac{1+21-22}{11}\right)z = 0.
Confere: ambas dão zero, então a solução está correta.

Passo 6

Resolver o sistema (2). Reescrevo as equações:
\begin{cases} 2x+z=1,\\[4pt] -x+y-z=0. \end{cases}
Aqui é bem direto: da primeira equação isolo x:
2x = 1 - z \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{1-z}{2}.
Da segunda equação isolo y:
-y? \text{ (atenção: a equação é } -x+y-z=0\text{)} \Rightarrow y = x+z.çãçãé
Substituo a expressão de x que achei:
y = \dfrac{1-z}{2} + z = \dfrac{1-z+2z}{2} = \dfrac{1+z}{2}.
Portanto, para o sistema (2) obtemos
x=\dfrac{1-z}{2},\qquad y=\dfrac{1+z}{2},\qquad z\\ \text{livre}.]

Passo 7

Checagem rápida do sistema (2):
Primeira equação:
2x+z = 2\cdot\frac{1-z}{2} + z = (1-z)+z = 1.
Segunda equação:
-x+y-z = -\frac{1-z}{2} + \frac{1+z}{2} - z = \frac{-1+z+1+z}{2} - z = \frac{2z}{2} - z = z - z = 0.
Confere.
Dica final para a prova: sempre escolha a variável livre indicada (aqui z), isole uma incógnita simples quando possível (coeficiente 1 ou 2 facilita), faça substituições com cuidado e verifique com as equações originais para evitar erro de sinal ou de frações. Você está indo bem — respira fundo e repete esse procedimento algumas vezes que fica natural!

Resposta

(1) \,x=\dfrac{1}{11}z,\\ y=\dfrac{7}{11}z,\\ z\\ \text{livre}.
(2) \,x=\dfrac{1-z}{2},\\ y=\dfrac{1+z}{2},\\ z\\ \text{livre}.

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