Em cada um dos sistemas
(1) \left\{\begin{aligned} 3 x-2 y+z & =0 \\\ x+3 y-2 z & =0\end{aligned}\right.
(2) \left\{\begin{array}{l}2 x+z=1 \\\\ -x+y-z=0\end{array}\right.
escrever o conjunto solução das seguintes formas:
em função da variável x.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
São dois sistemas lineares com três incógnitas x,y,z.
Para cada sistema é pedido: escrever o conjunto solução "em função da variável x". Ou seja, expressar y e z como funções de x e apresentar a solução paramétrica usando x como parâmetro.
Estratégia e ideia prática (razão da escolha do método):
Temos dois sistemas com duas equações e três incógnitas. A maneira mais direta é usar o método da substituição: isolar uma incógnita numa equação simples e substituir na outra para obter relações entre as demais incógnitas e x.
Como queremos a solução "em função da variável x", manteremos x como parâmetro livre e resolveremos para y e z em termos de x.
Vou mostrar passo a passo e checar ao final substituindo de volta nas equações originais.
Passo 3
Resolução do sistema (1). Primeiro isolar uma incógnita (vou isolar z a partir da primeira equação).
A primeira equação é 3x-2y+z=0. Isolando z obtemos:
z = 2y - 3x.
Agora substituímos essa expressão de z na segunda equação x+3y-2z=0. Substituindo:
x + 3y - 2(2y - 3x) = 0.
Desenvolvendo os parênteses:
x + 3y - 4y + 6x = 0.
Agrupando termos em x e em y:
( x + 6x) + (3y - 4y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 7x - y = 0.
Isolando y:
y = 7x.
Agora voltamos à expressão de z que obtivemos e substituímos y=7x:
z = 2y - 3x = 2(7x) - 3x = 14x - 3x = 11x.
Conclusão para o sistema (1): y e z em função de x são y=7x e z=11x. A família de soluções pode ser escrita como \{(x,7x,11x)\mid x\in\mathbb{R}\}.
Passo 4
Verificação rápida do sistema (1) (substituir para checar):
Na primeira equação: 3x - 2y + z = 3x - 2(7x) + 11x = 3x -14x +11x = 0. OK.
Na segunda equação: x + 3y - 2z = x + 3(7x) - 2(11x) = x +21x -22x =0. OK.
Portanto a solução encontrada está correta.
Passo 5
Resolução do sistema (2). Usar substituição direta.
A primeira equação é 2x + z = 1. Isolando z:
z = 1 - 2x.
A segunda equação é -x + y - z = 0. Isolando y nela (ou substituindo z primeiro) temos a forma y = x + z.
Substituindo z = 1 - 2x em y = x + z:
y = x + (1 - 2x) = 1 - x.
Portanto, para o sistema (2) obtemos y=1-x e z=1-2x. A família de soluções é \{(x,1-x,1-2x)\mid x\in\mathbb{R}\}.
Passo 6
Verificação rápida do sistema (2):
Primeira equação: 2x + z = 2x + (1-2x) = 1. OK.
Segunda equação: -x + y - z = -x + (1-x) - (1 - 2x) = -x +1 -x -1 +2x =0. OK.