Em cada um dos sistemas
(1) \left\{\begin{aligned} 3 x-2 y+z & =0 \\\ x+3 y-2 z & =0\end{aligned}\right.
(2) \left\{\begin{array}{l}2 x+z=1 \\\\ -x+y-z=0\end{array}\right.
escrever o conjunto solução das seguintes formas:
em função da variável y;

Passo 1

O enunciado nos dá dois sistemas lineares com as incógnitas x,y,z e pede: escrever o conjunto solução de cada sistema "em função da variável y". Ou seja, tratar y como parâmetro livre e escrever x e z em termos de y.
Sistema (1):
\left\{\begin{aligned} 3x-2y+z &= 0\\[4pt] x+3y-2z &= 0 \end{aligned}\right.
Sistema (2):
\left\{\begin{aligned} 2x+z &= 1\\[4pt] -x+y-z &= 0 \end{aligned}\right.
Informações relevantes:
  • Cada sistema tem duas equações e três incógnitas, portanto espera-se uma família de soluções com um grau de liberdade.
  • O problema exige que esse grau de liberdade seja exatamente a variável y: expressar x e z em função de y.]

Passo 2

Resolver o sistema (1) escolhendo y como parâmetro. Primeiro isolar z a partir da primeira equação porque é fácil de fazer:
3x-2y+z=0 \quad\Longrightarrow\quad z = -3x + 2y.
Explicação didática: isolar uma variável significa escrever essa variável em função das outras; aqui escolhemos z porque a primeira equação já tem coeficiente 1 em z, então a isolação é direta.

Passo 3

Substituir a expressão de z na segunda equação para obter uma equação apenas em x e y:
x+3y-2z=0 \quad\Rightarrow\quad x+3y-2\bigl(-3x+2y\bigr)=0.
Agora desenvolver os parênteses passo a passo:
x+3y +6x -4y = 0.
Agrupar termos semelhantes (os termos em x e os termos em y):
( x + 6x ) + (3y - 4y) = 0 \quad\Rightarrow\quad 7x - y = 0.
Resolver para x:
7x = y \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{y}{7}.
Comentário: aqui transformamos a segunda equação numa equação linear simples para x, usando a substituição anterior.

Passo 4

Calcular z usando z = -3x + 2y e o valor de x encontrado:
z = -3\left(\dfrac{y}{7}\right) + 2y.
Colocar sobre um denominador comum para simplificar:
z = -\dfrac{3y}{7} + \dfrac{14y}{7} = \dfrac{11y}{7}.
Portanto, em termos de y obtemos x e z explicitamente.

Passo 5

Escrever o conjunto solução do sistema (1) usando y como parâmetro:
(x,y,z)=\left(\dfrac{y}{7},\,y,\,\dfrac{11y}{7}\right),\qquad y\in\mathbb{R}.
Interpretação: para cada escolha de y real obtemos um triplo (x,y,z) que satisfaz ambas as equações. Em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\\\ y\\\ z\end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}\tfrac{1}{7}\\[2pt]1\\[2pt]\tfrac{11}{7}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): substituir \;x=\tfrac{y}{7}, \;z=\tfrac{11y}{7}\; nas equações originais para conferir que ambas ficam iguais a zero. Isso confirma que a expressão encontrada está correta.

Passo 7

Agora resolver o sistema (2) escolhendo novamente y como parâmetro. Reescrever as equações de forma conveniente:
\begin{aligned} 2x+z &= 1 \qquad\text{(1)}\\[4pt] -x+y-z &= 0 \quad\Rightarrow\quad x+z = y \qquad\text{(2)} \end{aligned}
Explicação: a segunda equação foi rearranjada para x+z=y, que é mais direta para eliminar variáveis.]

Passo 8

Subtrair a equação (2) de (1) para eliminar z (ou seja, fazer (1)-(2)):
(2x+z) - (x+z) = 1 - y \quad\Rightarrow\quad x = 1 - y.
Explicação didática: ao subtrair as duas equações, os termos z se cancelam, deixando uma equação simples apenas em x e y.

Passo 9

Achar z usando x+z=y e x=1-y:
z = y - x = y - (1-y) = 2y - 1.
Portanto x e z estão expressos em função de y.

Passo 10

Escrever o conjunto solução do sistema (2) em função de y:
(x,y,z) = \bigl(1-y,\,y,\,2y-1\bigr),\qquad y\in\mathbb{R}.
Verificação rápida: substituir esses valores em 2x+z e em -x+y-z confirma que a primeira dá 1 e a segunda dá 0, como exigido.

Resposta

(x,y,z)=\left(\dfrac{y}{7},\,y,\,\dfrac{11y}{7}\right),\; y\in\mathbb{R}
(x,y,z)=\bigl(1-y,\,y,\,2y-1\bigr),\; y\in\mathbb{R}

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