Encontre, se existir, a intersecção das retas
3 y=2 e x+y=1

Passo 1

O enunciado dá duas retas e pede sua intersecção (se existir). As equações fornecidas são:
3y=2
x+y=1
O que se quer encontrar é o ponto (x,y) que satisfaça simultaneamente as duas equações.

Passo 2

Ideia por trás do problema (explicação didática): a intersecção de duas retas é o par ordenado (x,y) que torna verdadeiras ambas as equações ao mesmo tempo. Resolver para a intersecção é resolver o sistema de duas equações lineares em duas incógnitas. Um método simples é o método da substituição: expressa-se uma variável em função da outra a partir de uma equação e substitui-se na outra equação.

Passo 3

Usar a primeira equação para achar y. A equação é
3y=2
para isolar y divide-se ambos os lados por 3:
y=\frac{2}{3}.
Aqui foi feito um passo elementar de álgebra: se a b=c e a\neq0 então b=c/a.

Passo 4

Substituir o valor de y na segunda equação x+y=1. Fazendo a substituição obtemos
x+\frac{2}{3}=1.
Agora isola-se x subtraindo \tfrac{2}{3} de ambos os lados. Escreve-se 1 como \tfrac{3}{3} para operar com frações:
x=\frac{3}{3}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): com x=\tfrac{1}{3} e y=\tfrac{2}{3},
3y=3\cdot\frac{2}{3}=2
e
x+y=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1,
ou seja, ambas as equações são satisfeitas. Portanto o ponto é realmente a intersecção.

Resposta

\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)

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