Decida quais dos sistemas abaixo são compatíveis e quais são incompatíveis e, no primeiro caso, descreva o seu conjunto solução. \left\{\begin{array}{l}x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=0 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}=1 \\\ x_{1}+x_{2}-x_{3}=-2\end{array}\right.
é compatível ou incompatível e, se for compatível, descrever o conjunto solução.
Informações dadas (as três equações do sistema): as três igualdades acima são todas as informações fornecidas.]
Passo 2
O que é compatibilidade (explicação didática e curta): um sistema linear é
compatível (ou consistente) se tiver pelo menos uma solução;
incompatível (ou inconsistente) se não tiver solução.
Além disso, se for compatível pode ser:
determinado (solução única), quando o número de pivôs (posto) é igual ao número de incógnitas; ou
indeterminado (infinitas soluções), quando o posto é menor que o número de incógnitas.
Método que vamos usar (explicação didática): faremos eliminação de Gauss sobre a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada é uma forma compacta de representar as equações; as operações elementares nas linhas correspondem a manipular as equações sem mudar o conjunto solução. Se no processo obtivermos uma linha do tipo 0= c com c\neq 0, o sistema é incompatível. Caso contrário, teremos equações que permitem obter as incógnitas (possivelmente com parâmetros).
Passo 3
Escrevendo a matriz aumentada do sistema (colunas para x_1,x_2,x_3 e coluna aumentada para o termo independente):
Conclusão sobre compatibilidade (com explicação curta): obtivemos um único triplo \big(x_1,x_2,x_3\big)=\left(-\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{2},\dfrac{13}{4}\right). Não apareceu nenhuma contradição do tipo 0=c com c\neq0, e o posto da matriz (número de pivôs) é 3, igual ao número de incógnitas 3. Portanto o sistema é compatível e determinado (tem exatamente uma solução).
Resposta
Sistema compatível determinado.
Solução: \displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=\left(-\dfrac{1}{4},\,\dfrac{3}{2},\,\dfrac{13}{4}\right)