Decida quais dos sistemas abaixo são compatíveis e quais são incompatíveis e, no primeiro caso, descreva o seu conjunto solução.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=0 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}=1 \\\ x_{1}+x_{2}-x_{3}=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o sistema
\begin{cases} x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}=1\\[4pt] x_{1}+x_{2}-x_{3}=-2 \end{cases}
é compatível ou incompatível e, se for compatível, descrever o conjunto solução.
Informações dadas (as três equações do sistema): as três igualdades acima são todas as informações fornecidas.]

Passo 2

O que é compatibilidade (explicação didática e curta): um sistema linear é
  • compatível (ou consistente) se tiver pelo menos uma solução;
  • incompatível (ou inconsistente) se não tiver solução.
    Além disso, se for compatível pode ser:
  • determinado (solução única), quando o número de pivôs (posto) é igual ao número de incógnitas; ou
  • indeterminado (infinitas soluções), quando o posto é menor que o número de incógnitas.
Método que vamos usar (explicação didática): faremos eliminação de Gauss sobre a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada é uma forma compacta de representar as equações; as operações elementares nas linhas correspondem a manipular as equações sem mudar o conjunto solução. Se no processo obtivermos uma linha do tipo 0= c com c\neq 0, o sistema é incompatível. Caso contrário, teremos equações que permitem obter as incógnitas (possivelmente com parâmetros).

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada do sistema (colunas para x_1,x_2,x_3 e coluna aumentada para o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right]]

Passo 4

Fazer eliminação abaixo do pivô da primeira linha. Usar as operações
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculando:
R_2: \\ (2,1,0,1) - 2(1,-2,1,0) = (0,5,-2,1),
R_3: \\ (1,1,-1,-2) - (1,-2,1,0) = (0,3,-2,-2).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 5 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 3 & -2 & -2 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora eliminar o elemento 3 da terceira linha usando a segunda linha como pivô. Tomamos
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{3}{5}R_2.
Calculemos cada entrada da terceira linha:
  • Coluna x_2: 3 - \frac{3}{5}\cdot 5 = 3-3=0.
  • Coluna x_3: -2 - \frac{3}{5}\cdot(-2) = -2 + \frac{6}{5} = -\frac{10}{5} + \frac{6}{5} = -\frac{4}{5}.
  • Termo independente: -2 - \frac{3}{5}\cdot 1 = -2 - \frac{3}{5} = -\frac{10}{5} - \frac{3}{5} = -\frac{13}{5}.
Então a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 5 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -\dfrac{4}{5} & -\dfrac{13}{5} \end{array}\right].]

Passo 6

A terceira linha dá uma equação simples para x_3. Multiplicando a terceira linha por 5 (para evitar frações) obtemos
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 -4 x_3 = -13,
ou seja
-4x_3 = -13 \quad\Rightarrow\quad x_3 = \dfrac{13}{4}.
Explicação didática: isolou-se x_3 porque a terceira linha ficou com coeficientes zero nas colunas de x_1 e x_2, restando apenas a incógnita x_3.

Passo 7

Agora retro-substituir na segunda linha para obter x_2. A segunda linha representa
5x_2 - 2x_3 = 1.
Substituindo x_3=\dfrac{13}{4}:
5x_2 - 2\cdot \dfrac{13}{4} = 1.
Calcule o produto e isole x_2:
5x_2 - \dfrac{26}{4} = 1 \quad\Rightarrow\quad 5x_2 = 1 + \dfrac{26}{4} = \dfrac{4}{4} + \dfrac{26}{4} = \dfrac{30}{4} = \dfrac{15}{2}.
Logo
x_2 = \dfrac{15}{2}\cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}.
Breve comentário: fizemos operações aritméticas com frações passo a passo para ficar claro como chegar no valor exato.

Passo 8

Finalmente, usar a primeira equação para obter x_1. A primeira equação é
x_1 - 2x_2 + x_3 = 0.
Substituindo x_2=\dfrac{3}{2} e x_3=\dfrac{13}{4}:
x_1 - 2\cdot \dfrac{3}{2} + \dfrac{13}{4} = 0.
Calcule os termos:
x_1 - 3 + \dfrac{13}{4} = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 3 - \dfrac{13}{4} = \dfrac{12}{4} - \dfrac{13}{4} = -\dfrac{1}{4}.

Passo 9

Conclusão sobre compatibilidade (com explicação curta): obtivemos um único triplo \big(x_1,x_2,x_3\big)=\left(-\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{2},\dfrac{13}{4}\right). Não apareceu nenhuma contradição do tipo 0=c com c\neq0, e o posto da matriz (número de pivôs) é 3, igual ao número de incógnitas 3. Portanto o sistema é compatível e determinado (tem exatamente uma solução).

Resposta

Sistema compatível determinado.
Solução: \displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=\left(-\dfrac{1}{4},\,\dfrac{3}{2},\,\dfrac{13}{4}\right)

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