Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o conjunto solução.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com duas equações e três incógnitas:
6x + 2y + 4z = 0, 9x + 3y + 6z = 0
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss ou identificação de dependência entre as equações. Vamos verificar se as equações são independentes e, em seguida, parametrizar as soluções.
Passo 2
Escrevemos a primeira equação e observamos que a segunda parece um múltiplo da primeira. De fato, dividindo a primeira por 3:
6x + 2y + 4z3 = 2x + tfrac23y + tfrac43z = 0
e a segunda, dividida por 3, é
9x + 3y + 6z3 = 3x + y + 2z = 0
Para compará-las melhor, dividimos a segunda original por 3:
3x + y + 2z = 0
A primeira original, dividida por 2, dá
3x + y + 2z = 0
Logo, as duas equações são idênticas, isto é, o sistema tem apenas uma equação efetiva.
Passo 3
Ficamos então com a única condição
3x + y + 2z = 0
Isso significa que duas variáveis podem ser livres. Vamos escolher x e z como parâmetros:
x = s, z = t,
onde s,tinR. Substituindo em 3x + y + 2z = 0, obtemos
3s + y + 2t = 0 Longrightarrow y = -3s - 2t
Passo 4
Portanto a solução geral pode ser escrita em função dos parâmetros s e t: