Questão 3 Verique quais dos subconjuntos
abaixo são subspaços vetoriais reais (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine uma base. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço de
e, se for, encontrar uma base.
Conteúdo: definição de subespaço (fechado sob soma e multiplicação por escalar e contém o polinômio zero) e uso de raízes para parametrizar polinômios que satisfazem condições de anulação.
Conteúdo: definição de subespaço (fechado sob soma e multiplicação por escalar e contém o polinômio zero) e uso de raízes para parametrizar polinômios que satisfazem condições de anulação.
Passo 2
Verificamos que o polinômio zero
está em
, pois
Logo,
.
Passo 3
Sejam
e
. Então para
temos
Isto mostra que
e
. Assim
é subespaço vetorial.
Passo 4
Todo
anula em
, então
é múltiplo de
e como
sobra apenas uma constante
. Logo
Portanto todo polinômio de
é
, e uma base de
é