Questão 3 Verique quais dos subconjuntos W abaixo são subspaços vetoriais reais (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine uma base. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
W=p in P3(R) ; p(0)=p(1)=p(-1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = ,pin P3(R) mid p(0)=p(1)=p(-1)=0
é subespaço de P3(R) e, se for, encontrar uma base.
Conteúdo: definição de subespaço (fechado sob soma e multiplicação por escalar e contém o polinômio zero) e uso de raízes para parametrizar polinômios que satisfazem condições de anulação.

Passo 2

Verificamos que o polinômio zero p(x)=0 está em W, pois
p(0)=0, p(1)=0, p(-1)=0
Logo, 0in W.

Passo 3

Sejam p,qin W e alphainR. Então para ain0,1,-1 temos
(p+q)(a)=p(a)+q(a)=0+0=0, (alpha p)(a)=alpha,p(a)=alphacdot0=0
Isto mostra que p+qin W e alpha pin W. Assim W é subespaço vetorial.

Passo 4

Todo pin W anula em 0,1,-1, então p(x) é múltiplo de
x, x-1, x+1
e como deg p<=3 sobra apenas uma constante c. Logo
p(x)=c,x,(x-1)(x+1) =cl(x^3-xr)
Portanto todo polinômio de W é c(x^3-x), e uma base de W é
,x^3-x

Resposta

W é subespaço de P3(R) e uma base de W é ,x^3 - x.

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