Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o seu conjunto solução usando o método da matriz inversa.
\{\begin{aligned} x-y+z+w & =4 \\\\ 2 x-y-z & =-3 \\\ x-2 y+z & =1 \\\\ 5 x+w & =5\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema
\begin{cases} x - y + z + w = 4,\\\\ 2x - y - z = -3,\\\ x - 2y + z = 1,\\\\ 5x + w = 5 \end{cases}
usando o método da matriz inversa. Vamos representar o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b} e calcular \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.

Passo 2

Montando as matrizes, temos
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & -1 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 5 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix},\quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\\ -3\\\ 1\\\ 5\end{pmatrix}.
A solução é dada por
\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.

Passo 3

Para que A^{-1} exista, precisamos de \det(A)\neq0. Calculando por expansão na última linha:
\det(A)=1\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 2 & -1 & -1\\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} =-3\neq0.
Logo A é invertível e a solução é única.

Passo 4

Em vez de calcular explicitamente A^{-1}, vamos obter A^{-1}\mathbf{b} resolvendo diretamente o sistema por substituição, pois o resultado é o mesmo de aplicar a matriz inversa.

Passo 5

Da equação
5x + w = 5
isolamos
w = 5 - 5x.

Passo 6

Substituindo em
x - y + z + w = 4
vem
x - y + z + (5 - 5x) = 4
ou seja
-4x - y + z = -1,
que reescrevemos como
4x + y - z = 1.

Passo 7

Tomamos agora
4x + y - z = 1 \quad\text{e}\quad 2x - y - z = -3
e somamos para eliminar y, obtendo
6x - 2z = -2 \quad\Longrightarrow\quad 3x - z = -1.
Subtraindo-as também em vez de somar gera
x + y = 2.

Passo 8

De 3x - z = -1 segue
z = 3x + 1,
e de x + y = 2 segue
y = 2 - x.
Substituindo essas expressões em
x - 2y + z = 1
temos
x - 2(2 - x) + (3x + 1) = 1
6x - 3 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{2}{3}.

Passo 9

Finalmente, substituindo x = \tfrac{2}{3} nas fórmulas obtidas para y,z,w, achamos
y = 2 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{3},\quad z = 3\!\cdot\tfrac{2}{3} + 1 = 3,\quad w = 5 - 5\!\cdot\tfrac{2}{3} = \tfrac{5}{3}.

Resposta

O conjunto solução é
\Bigl\{\bigl(\tfrac{2}{3},\,\tfrac{4}{3},\,3,\,\tfrac{5}{3}\bigr)\Bigr\}.

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