Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de k para que o sistema possua solução única. \left\{\begin{aligned} x+2 y+k z & =-1 \\\ k x-y+z & =2 \\\ x+y+z & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + k\,z = -1,\\\ k\,x - y + z = 2,\\\ x + y + z = 0, \end{cases}
e pede os valores de k para os quais existe solução única. O critério é que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero.
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes como
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & k\\\ k & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Queremos \det(A)\neq 0.
Passo 3
Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha: