Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de k para que o sistema possua solução única.
\left\{\begin{aligned} x+2 y+k z & =-1 \\\ k x-y+z & =2 \\\ x+y+z & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + k\,z = -1,\\\ k\,x - y + z = 2,\\\ x + y + z = 0, \end{cases}
e pede os valores de k para os quais existe solução única. O critério é que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes como
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & k\\\ k & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Queremos \det(A)\neq 0.

Passo 3

Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}k & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} +k\cdot\det\begin{pmatrix}k & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Agora os menores:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = (-1)\cdot1 - 1\cdot1 = -2,
\det\begin{pmatrix}k & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = k\cdot1 - 1\cdot1 = k-1,
\det\begin{pmatrix}k & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = k\cdot1 - (-1)\cdot1 = k+1.

Passo 4

Substituindo,
\det(A) = 1\cdot(-2) - 2\,(k-1) + k\,(k+1) = -2 -2k +2 + k^2 + k = k^2 - k = k\,(k-1).
Para solução única é preciso \det(A)\neq 0, ou seja,
k\,(k-1)\neq 0.

Resposta

O sistema tem solução única se, e somente se,
k \neq 0 \quad\text{e}\quad k \neq 1.

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