Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) encontre a forma escada da matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e (iv) resolva o sistema (quando houver solução).
\left\{\begin{aligned} x-y+z+w & =4 \\\\ 2 x-y-z & =-3 \\\ x-2 y+w & =1 \\\\ 5 x+z-w & =5\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o sistema linear
\begin{cases} x - y + z + w = 4,\\\\ 2x - y - z + 0\,w = -3,\\\ x - 2y + 0\,z + w = 1,\\\\ 5x + 0\,y + z - w = 5, \end{cases}
usando conteúdo de álgebra linear: formar as matrizes A, \mathbf b, a matriz aumentada [A\mid \mathbf b], aplicar eliminação de Gauss para chegar à forma escada, identificar variáveis livres e, por fim, resolver o sistema.

Passo 2

Extraindo diretamente dos coeficientes e termos independentes, temos
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & -1 & 0\\\\ 1 & -2 & 0 & 1\\\\ 5 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{pmatrix} 4\\\\ -3\\\\ 1\\\\ 5 \end{pmatrix},
e a matriz aumentada
[A\mid \mathbf b] = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \bigm| & 4\\\\ 2 & -1 & -1 & 0 & \bigm| & -3\\\\ 1 & -2 & 0 & 1 & \bigm| & 1\\\\ 5 & 0 & 1 & -1 & \bigm| & 5 \end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss sobre [A\mid \mathbf b], obtemos sucessivamente linhas zero abaixo dos pivôs e chegamos à forma escada
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \bigm| & 4\\\\ 0 & 1 & -3 & -2 & \bigm| & -11\\\\ 0 & 0 & -4 & -2 & \bigm| & -14\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \bigm| & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Na forma escada acima cada coluna \{x,y,z,w\} tem pivô, ou seja, não há variáveis sem pivô. Portanto não há variáveis livres; todas são variáveis básicas.

Passo 5

Como não há variáveis livres, resolvemos por substituição regressiva:
– Da última linha:
w = -1.
– Da terceira linha:
-4\,z -2\,w = -14 \;\Longrightarrow\; -4\,z -2(-1) = -14 \;\Longrightarrow\; -4\,z +2 = -14 \;\Longrightarrow\; z = 4.
– Da segunda linha:
y -3\,z -2\,w = -11 \;\Longrightarrow\; y -3\cdot 4 -2(-1) = -11 \;\Longrightarrow\; y -12 +2 = -11 \;\Longrightarrow\; y = -1.
– Da primeira linha:
x - y + z + w = 4 \;\Longrightarrow\; x -(-1) +4 +(-1) = 4 \;\Longrightarrow\; x +1 +4 -1 = 4 \;\Longrightarrow\; x = 0.

Resposta

(i)
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & -1 & 0\\\\ 1 & -2 & 0 & 1\\\\ 5 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{pmatrix}4\\\ -3\\\ 1\\\ 5\end{pmatrix}, \quad [A\mid \mathbf b] = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \bigm| & 4\\\\ 2 & -1 & -1 & 0 & \bigm| & -3\\\\ 1 & -2 & 0 & 1 & \bigm| & 1\\\\ 5 & 0 & 1 & -1 & \bigm| & 5 \end{pmatrix}.
(ii)
\text{Forma escada de }[A\mid \mathbf b] = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \bigm| & 4\\\\ 0 & 1 & -3 & -2 & \bigm| & -11\\\\ 0 & 0 & -4 & -2 & \bigm| & -14\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \bigm| & -1 \end{pmatrix}.
(iii) Não há variáveis livres (todas as colunas têm pivô).
(iv) Solução única
(x,y,z,w) = (0,\,-1,\,4,\,-1).

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