Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) encontre a forma escada da matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e (iv) resolva o sistema (quando houver solução). \left\{\begin{aligned} x-y+z+w & =4 \\\\ 2 x-y-z & =-3 \\\ x-2 y+w & =1 \\\\ 5 x+z-w & =5\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para analisar o sistema linear
\begin{cases} x - y + z + w = 4,\\\\ 2x - y - z + 0\,w = -3,\\\ x - 2y + 0\,z + w = 1,\\\\ 5x + 0\,y + z - w = 5, \end{cases}
usando conteúdo de álgebra linear: formar as matrizes A, \mathbf b, a matriz aumentada [A\mid \mathbf b], aplicar eliminação de Gauss para chegar à forma escada, identificar variáveis livres e, por fim, resolver o sistema.
Passo 2
Extraindo diretamente dos coeficientes e termos independentes, temos
Na forma escada acima cada coluna \{x,y,z,w\} tem pivô, ou seja, não há variáveis sem pivô. Portanto não há variáveis livres; todas são variáveis básicas.
Passo 5
Como não há variáveis livres, resolvemos por substituição regressiva:
– Da última linha: