Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de k para que o sistema possua solução única.
\left\{\begin{aligned} 2 x-5 y+2 z & =0 \\\ x+y+z & =0 \\\\ 2 x+k z & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} 2x - 5y + 2z = 0,\\\ x + y + z = 0,\\\\ 2x + k\,z = 0, \end{cases}
e pergunta para quais valores de k ele tem solução única. O conteúdo aqui é sistemas lineares e a condição para ter solução única é que a matriz dos coeficientes tenha determinante diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & k \end{pmatrix}
e usamos o critério: o sistema tem solução única se, e somente se, \det(A)\neq 0.

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & -5 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & k \end{vmatrix} =2\,(1\cdot k - 1\cdot 0)\;-\;(-5)\,(1\cdot k - 1\cdot 2)\;+\;2\,(1\cdot 0 - 1\cdot 2).
Simplificando,
\det(A)=2k +5\,(k-2) +2\,(-2) =2k +5k -10 -4 =7k -14 =7\,(k-2).

Passo 4

Para que haja solução única, exigimos
\det(A)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad 7\,(k-2)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad k\neq 2.

Resposta

O sistema possui solução única para k\neq 2.

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