Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de k para que o sistema possua solução única. \left\{\begin{aligned} 2 x-5 y+2 z & =0 \\\ x+y+z & =0 \\\\ 2 x+k z & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} 2x - 5y + 2z = 0,\\\ x + y + z = 0,\\\\ 2x + k\,z = 0, \end{cases}
e pergunta para quais valores de k ele tem solução única. O conteúdo aqui é sistemas lineares e a condição para ter solução única é que a matriz dos coeficientes tenha determinante diferente de zero.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & k \end{pmatrix}
e usamos o critério: o sistema tem solução única se, e somente se, \det(A)\neq 0.