Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) encontre a forma escada da matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e (iv) resolva o sistema (quando houver solução).
\left\{\begin{aligned} x+y-z & =-1 \\\\ 2 x+y-z & =1 \\\\ 3 x+y+2 z & =5 \\\\ 4 x+2 y+z & =4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de quatro equações e três incógnitas
\begin{cases} x + y - z = -1,\\\\ 2x + y - z = 1,\\\\ 3x + y + 2z = 5,\\\\ 4x + 2y + z = 4, \end{cases}
e pede (i) as matrizes A, \mathbf b e [A\mid \mathbf b], (ii) a forma escada de [A\mid \mathbf b], (iii) as variáveis livres e (iv) a solução. Vamos usar eliminação de Gauss e substituição regressiva.

Passo 2

As matrizes são
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 3 & 1 & 2\\\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf b = \begin{pmatrix} -1\\\\ 1\\\\ 5\\\\ 4 \end{pmatrix},
[A\mid \mathbf b] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1\\\\ 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 3 & 1 & 2 & 5\\\\ 4 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Na matriz aumentada
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1\\\\ 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 3 & 1 & 2 & 5\\\\ 4 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}
aplicamos
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-3R_1,\quad R_4\leftarrow R_4-4R_1
e obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1\\\\ 0 & -1 & 1 & 3\\\\ 0 & -2 & 5 & 8\\\\ 0 & -2 & 5 & 8 \end{pmatrix}.
Em seguida fazemos
R_3\leftarrow R_3-2R_2,\quad R_4\leftarrow R_4-2R_2,\quad R_4\leftarrow R_4-R_3
e chegamos à forma escada
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1\\\\ 0 & -1 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 3 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

A forma escada tem três linhas não-nulas, logo \mathrm{posto}(A)=3. Como há três incógnitas, não sobra nenhuma variável livre.

Passo 5

Fazendo substituição regressiva:
da terceira linha,
3z = 2\quad\Longrightarrow\quad z = \tfrac{2}{3};
da segunda linha,
-\,y + z = 3\quad\Longrightarrow\quad -y = 3 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{7}{3}\quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{7}{3};
da primeira linha,
x + y - z = -1\quad\Longrightarrow\quad x = -1 - y + z = -1 -\bigl(-\tfrac{7}{3}\bigr) + \tfrac{2}{3} = 2.

Resposta

(i)
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 3 & 1 & 2\\\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{pmatrix} -1\\\\ 1\\\\ 5\\\\ 4 \end{pmatrix}, \quad [A\mid \mathbf b] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1\\\\ 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 3 & 1 & 2 & 5\\\\ 4 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
(ii)
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1\\\\ 0 & -1 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 3 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
(iii) não há variáveis livres (posto = número de incógnitas).
(iv) única solução
(x,y,z) = \bigl(2,\,-\tfrac{7}{3},\,\tfrac{2}{3}\bigr).

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